ملخص طرق التكامل — ثالثة ثانوي

مقدمة

ليست كل التكاملات على صورة قياسية جاهزة؛ فالتكامل $\int x\,e^{x^2}dx$ أو $\int x\cos x\,dx$ لا نجده في جدول التكاملات القياسية. لكننا نستطيع تحويلها إلى صور مألوفة بطريقتين أساسيتين: التعويض الذي يعكس قاعدة السلسلة، والتجزيء الذي يعكس قاعدة ضرب دالتين في الاشتقاق.

أهداف التعلم

تستخدم التكاملات القياسية وخواص التكامل غير المحدد.
تجد تفاضل دالة وتستخدمه في التكامل.
تحسب التكامل بالتعويض وبالتجزيء.
تختار الطريقة المناسبة حسب صورة التكامل.

شرح الدرس

التكاملات القياسية وخواصها

إذا كانت $F' = f$ فإن $\int f(x)\,dx = F(x) + c$ . ويتحقق $\int \left[f(x) \pm g(x)\right]dx = \int f\,dx \pm \int g\,dx$ و $\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ . ومن مشتقات الدوال الأساسية نحصل على:

الدالة	التكامل
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$
$\cos x$	$\sin x + c$
$\sin x$	$-\cos x + c$
$\sec^2 x$	$\tan x + c$
$\csc^2 x$	$-\cot x + c$
$\sec x\tan x$	$\sec x + c$
$\csc x\cot x$	$-\csc x + c$
$e^x$	$e^x + c$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln

التفاضلات

إذا كانت $y = f(x)$ قابلة للاشتقاق فإن تفاضل $y$ هو $dy = f'(x)\,dx$ . مثلًا إذا كان $y = x^3$ فإن $dy = 3x^2\,dx$ . وإذا كانت $u = g(x)$ فإن $du = g'(x)\,dx$ . وبه نكتب التعويض في التكامل.

التكامل بالتعويض

إذا كان التكامل على الصورة $\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx$ فبوضع $u = g(x)$ و $du = g'(x)\,dx$ يؤول إلى $\int f(u)\,du$ . الخطوات: اختر $u$ (غالبًا التعبير الداخلي)، احسب $du$ ، عوّض وبسّط، كامل، ثم عوّض عن $u$ بدلالة $x$ . وقد نضبط $du$ بالضرب والقسمة على ثابت.

التكامل بالتجزيء

من قاعدة اشتقاق حاصل الضرب $\dfrac{d}{dx}(uv) = u\dfrac{dv}{dx} + v\dfrac{du}{dx}$ نحصل بالتكامل على:

\int u\,dv = uv - \int v\,du

نستخدمها لتكامل حاصل ضرب دالتين ليست إحداهما مشتقة للأخرى. ونختار $u$ و $dv$ بحيث يكون $du$ أبسط من $u$ وبحيث يسهل تكامل $dv$ لإيجاد $v$ ، وبحيث يكون $\int v\,du$ أسهل من التكامل الأصلي. فمثلًا في (كثيرة حدود) × (دالة أسية أو جيب أو جيب تمام) نأخذ كثيرة الحدود $u$ ، وفي تكامل $\ln x$ وحده نأخذ $u = \ln x$ و $dv = dx$ . وإضافة ثابت إلى $v$ لا تغير النتيجة.

مخطط يساعد على اختيار طريقة التكامل: دالة داخلية ومشتقتها تعني تعويضًا، وحاصل ضرب نوعين تعني تجزيئًا، وبسط يساوي مشتقة المقام يعني لوغاريتمًا

اختيار الطريقة

دالة داخلية ومشتقتها (بمعامل ثابت): تعويض.
حاصل ضرب نوعين مختلفين من الدوال ليست إحداهما مشتقة للأخرى: تجزيء.
كسر بسطه مشتقة مقامه: لوغاريتم مباشرة.

تعريفات

تفاضل الدالة: $dy = f'(x)\,dx$ .
التكامل بالتعويض: تحويل التكامل إلى متغير جديد $u$ .
التكامل بالتجزيء: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (تفاضل): أوجد تفاضل $y = (2x+5)^4$ وتفاضل $y = e^{x^2 - 3}$ .

الحل: $dy = 4(2x+5)^3\cdot 2\,dx = 8(2x+5)^3\,dx$ و $dy = 2x\,e^{x^2 - 3}\,dx$ .

مثال 2 (تعويض): احسب $\int (2x + 3)^5\,dx$ .

الحل: $u = 2x + 3$ و $dx = \dfrac{1}{2}du$ فالتكامل $\dfrac{1}{2}\int u^5\,du = \dfrac{u^6}{12} + c = \dfrac{(2x+3)^6}{12} + c$ .

مثال 3 (تعويض): احسب $\int \sin^3 x\cos x\,dx$ .

الحل: $u = \sin x$ و $du = \cos x\,dx$ فالتكامل $\int u^3du = \dfrac{\sin^4 x}{4} + c$ .

مثال 4 (تعويض): احسب $\int \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$ .

الحل: $u = x^2 + 1$ و $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$ فالتكامل $\dfrac{1}{2}\int u^{-1/2}du = \sqrt{u} + c = \sqrt{x^2+1} + c$ .

مثال 5 (تعويض مع تغيير المتغير): احسب $\int x(x - 3)^5\,dx$ .

الحل: $u = x - 3$ فـ $x = u + 3$ و $dx = du$ : $\int (u+3)u^5\,du = \dfrac{u^7}{7} + \dfrac{u^6}{2} + c = \dfrac{(x-3)^7}{7} + \dfrac{(x-3)^6}{2} + c$ .

مثال 6 (تعويض): احسب $\int \sec^2 x\;e^{\tan x}\,dx$ .

الحل: $u = \tan x$ و $du = \sec^2 x\,dx$ فالتكامل $\int e^u du = e^{\tan x} + c$ .

مثال 7 (تجزيء): احسب $\int x\,e^x\,dx$ .

الحل: $u = x$ و $dv = e^x dx$ فـ $du = dx$ و $v = e^x$ : $xe^x - \int e^x dx = e^x(x - 1) + c$ .

مثال 8 (تجزيء): احسب $\int x\cos x\,dx$ .

الحل: $u = x$ و $dv = \cos x\,dx$ فـ $v = \sin x$ : $x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + c$ .

مثال 9 (تجزيء): احسب $\int \ln x\,dx$ .

الحل: $u = \ln x$ و $dv = dx$ فـ $du = \dfrac{1}{x}dx$ و $v = x$ : $x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + c$ .

مثال 10 (تجزيء مرتين): احسب $\int x^2 e^x\,dx$ و $\int x^2 e^{-x}\,dx$ .

الحل: $\int x^2e^x dx = x^2e^x - 2\int xe^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + c$ . وبالمثل $\int x^2e^{-x}dx = -x^2e^{-x} + 2\int xe^{-x}dx = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + c$ .

مثال 11 (تجزيء): احسب $\int x\ln x\,dx$ ( $x > 0$ ).

الحل: $u = \ln x$ و $dv = x\,dx$ فـ $du = \dfrac{1}{x}dx$ و $v = \dfrac{x^2}{2}$ : $\dfrac{x^2}{2}\ln x - \int \dfrac{x}{2}dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + c$ .

ملاحظات مهمة

في التعويض حوّل كل رموز $x$ ومنها $dx$ إلى $u$ قبل التكامل، ثم أعد $u$ إلى $x$ في النهاية.
قد يلزم التجزيء أكثر من مرة، وإذا صار $\int v\,du$ أعقد فبدّل اختيار $u$ و $dv$ .
تحقق من الناتج باشتقاقه.
ابدأ بالبحث عن تعويض مباشر قبل التجزيء.

المفاهيم الأساسية

التعويض: $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ .
التجزيء: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ .
تفاضل الدالة: $dy = f'(x)\,dx$ .

ملخص الدرس

نوسّع قدرتنا على التكامل بطريقتين: التعويض الذي يعكس قاعدة السلسلة فنحول التكامل إلى متغير جديد، والتجزيء الذي يعكس قاعدة اشتقاق حاصل الضرب فنحول $\int u\,dv$ إلى $uv - \int v\,du$ . ونختار الطريقة بحسب صورة التكامل.

أسئلة للتدريب

احسب $\int x^3(x^4 + 1)^5\,dx$ .
احسب $\int \cos x\,(\sin x + 2)^4\,dx$ .
احسب $\int x\,e^{2x}\,dx$ .
احسب $\int x\sin 3x\,dx$ .
احسب $\int (\ln x)^2\,dx$ (يلزم التجزيء مرتين).