تطبيقات / أمثلة

مثال ١: مجموع عددين موجبين $20$. أوجد العددين اللذين حاصل ضربهما أكبر ما يمكن.

الحل: ليكن العددان $x$ و$20 - x$ حيث $0 < x < 20$. حاصل الضرب:

$P'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$. و$P''(x) = -2 < 0$ فهي قيمة عظمى. إذن العددان $10$ و$10$، وأكبر حاصل ضرب $= 100$.

مثال ٢: لدى مزارع $100$ م من السياج ليحيط أرضًا مستطيلة يحدّها من جهة نهرٌ لا يحتاج إلى سياج. أوجد أكبر مساحة يمكن إحاطتها.

الحل: ليكن عرض المستطيل (الضلعان العموديان على النهر) $x$ وطوله (الضلع الموازي للنهر) $y$. القيد: $2x + y = 100$، ومنه $y = 100 - 2x$. المساحة:

$A'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25$، و$A''(x) = -4 < 0$ فهي قيمة عظمى. إذن $y = 50$، وأكبر مساحة $= 25 \times 50 = 1250$ متر مربع.

مثال ٣: صُنع صندوق مفتوح من أعلى بقصّ مربّعات متطابقة طول ضلعها $x$ من أركان صفيحة مربّعة طول ضلعها $12$ سم ثم ثني الجوانب. أوجد $x$ التي تجعل حجم الصندوق أكبر ما يمكن.

الحل: أبعاد القاعدة $(12 - 2x) \times (12 - 2x)$ والارتفاع $x$، فالحجم:

$V'(x) = 0$ يعطي $x = 6$ (مرفوضة لأنها تجعل $V = 0$) أو $x = 2$. وبفحص المجال تكون $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ سم³ هي القيمة العظمى. إذن $x = 2$ سم.

مثال ٤: مستطيل مساحته $36$. أوجد أبعاده التي تجعل محيطه أصغر ما يمكن.

الحل: ليكن البعدان $x$ و$y$ حيث $xy = 36$، فـ $y = \frac{36}{x}$. المحيط:

$P'(x) = 2 - \frac{72}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = 6$، و$P''(x) = \frac{144}{x^3} > 0$ فهي قيمة صغرى. إذن $y = 6$ (مربّع)، وأصغر محيط $= 24$.

ملاحظات:

• كثيرًا ما يكون الحلّ الأمثل شكلًا متماثلًا (مربّعًا، أو عددين متساويين).
• إذا كان المجال مغلقًا، قارن قيم الدالة عند النقاط الحرجة والطرفين.
• تحقّق دائمًا أن الأبعاد الناتجة موجبة ومعقولة فيزيائيًّا.