تطبيقات / أمثلة

مثال ١: حدّد فترات التقعّر ونقطة الانقلاب للمنحنى $f(x) = x^3 - 3x^2$.

الحل: $f'(x) = 3x^2 - 6x$، و$f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$. تنعدم $f''$ عند $x = 1$ وتتغيّر إشارتها هناك:

• $x < 1$: $\;f'' < 0 \Rightarrow$ تقعّر لأسفل.
• $x > 1$: $\;f'' > 0 \Rightarrow$ تقعّر لأعلى.

إذن $(1, f(1)) = (1, -2)$ نقطة انقلاب.

مثال ٢: أوجد خطوط تقارب المنحنى $f(x) = \frac{x}{x - 1}$.

الحل: المقام ينعدم عند $x = 1$ والبسط لا ينعدم عندها، فـ $x = 1$ خطّ تقارب رأسيّ. وعند $x \to \pm\infty$:

فـ $y = 1$ خطّ تقارب أفقيّ.

مثال ٣: أوجد خطّ التقارب المائل للمنحنى $f(x) = x + \frac{1}{x}$.

الحل: عندما $x \to \pm\infty$ يؤول الحدّ $\frac{1}{x}$ إلى صفر، فيقترب المنحنى من المستقيم $y = x$، وهو خطّ التقارب المائل. كما أن $x = 0$ خطّ تقارب رأسيّ.

مثال ٤: بيّن أن المنحنى $f(x) = x^4$ ليس له نقطة انقلاب رغم أن $f''(0) = 0$.

الحل: $f''(x) = 12x^2 \ge 0$ لكل $x$، فلا تتغيّر إشارتها عند $x = 0$، ويبقى المنحنى مقعّرًا لأعلى على جانبيها، فلا توجد نقطة انقلاب.

ملاحظات:

• نقطة الانقلاب قد يكون عندها مماس أفقيّ (مثل $x^3$ عند الأصل) أو مماس مائل.
• الدالة الزوجية $f(-x) = f(x)$ متماثلة حول محور $y$، والفردية $f(-x) = -f(x)$ متماثلة حول نقطة الأصل.
• تحقّق أن الرسم النهائيّ يوافق جدولَي إشارة $f'$ و$f''$ معًا.