تطبيقات / أمثلة

مثال ١: أوجد القيم القصوى المحلية للدالة $f(x) = x^3 - 3x$.

الحل: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$، فالنقاط الحرجة $x = \pm 1$. و$f''(x) = 6x$:

• $f''(-1) = -6 < 0 \Rightarrow$ قيمة عظمى محلية، ومقدارها $f(-1) = -1 + 3 = 2$.
• $f''(1) = 6 > 0 \Rightarrow$ قيمة صغرى محلية، ومقدارها $f(1) = 1 - 3 = -2$.

مثال ٢: أوجد القيمتين العظمى والصغرى المطلقتين للدالة $f(x) = x^2 - 4x + 3$ على $[0, 3]$.

الحل: $f'(x) = 2x - 4$، فالنقطة الحرجة $x = 2 \in\, ]0, 3[$. نحسب:

القيمة العظمى المطلقة $3$ عند $x = 0$، والقيمة الصغرى المطلقة $-1$ عند $x = 2$.

مثال ٣: أوجد القيم القصوى المحلية للدالة $f(x) = x^4 - 2x^2$.

الحل: $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)$، فالنقاط الحرجة $x = 0, \pm 1$. و$f''(x) = 12x^2 - 4$:

• $f''(0) = -4 < 0 \Rightarrow$ عظمى محلية، $f(0) = 0$.
• $f''(1) = 8 > 0 \Rightarrow$ صغرى محلية، $f(1) = 1 - 2 = -1$.
• $f''(-1) = 8 > 0 \Rightarrow$ صغرى محلية، $f(-1) = 1 - 2 = -1$.

مثال ٤: أوجد القيمة الصغرى المحلية للدالة $f(x) = x + \frac{4}{x}$ حيث $x > 0$.

الحل: $f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}$، وتنعدم عند $x^2 = 4$، أي $x = 2$ (لأن $x > 0$). و$f''(x) = \frac{8}{x^3} > 0$ عند $x = 2$، فهي قيمة صغرى محلية مقدارها $f(2) = 2 + 2 = 4$.

ملاحظات:

• كل قيمة قصوى مطلقة داخل الفترة المفتوحة هي أيضًا قيمة قصوى محلية، لكن العكس غير لازم.
• إذا كانت $f''(c) = 0$ فقد تكون النقطة عظمى أو صغرى أو انقلاب؛ لا تحكم إلا باختبار الإشارة.
• في مسائل «أوجد أكبر/أصغر قيمة» على فترة مغلقة، لا تنسَ فحص الطرفين.