ذاكر مصر

الرياضيات البحتة · الصف الثالث الثانوي

تزايد وتناقص الدوال

استخدام إشارة المشتقة الأولى لتحديد فترات تزايد الدالة وتناقصها، وإيجاد النقاط الحرجة، وبناء جدول إشارة المشتقة.

تزايد وتناقص الدوال — الرياضيات البحتة

معلومات الدرس

  • الصف: الثالث الثانوي
  • المادة: الرياضيات البحتة
  • الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
  • الترم: الأول (الترم الأول)
  • رقم الدرس: ١–٢ (قسم التفاضل والتكامل — الوحدة الثانية: سلوك الدالة ورسم المنحنيات)

الأهداف العامة

  • أن يربط الطالب بين إشارة المشتقة الأولى وسلوك الدالة تزايدًا وتناقصًا.
  • أن يوجد النقاط الحرجة للدالة.
  • أن يبني جدول إشارة المشتقة ويستنتج منه فترات التزايد والتناقص.

المحتوى الرئيسي

العلاقة بين المشتقة والتزايد

لتكن ff دالة قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة:

  • إذا كان f′(x)>0f'(x) > 0 لكل xx في الفترة، فإن ff متزايدة على تلك الفترة.
  • إذا كان f′(x)<0f'(x) < 0 لكل xx في الفترة، فإن ff متناقصة على تلك الفترة.
  • إذا كان f′(x)=0f'(x) = 0 على فترة كاملة، فإن ff ثابتة على تلك الفترة.

السبب الهندسيّ: f′(x)f'(x) ميل المماس؛ فالميل الموجب يعني منحنى صاعدًا كلّما تحرّكنا يمينًا، والميل السالب يعني منحنى هابطًا.

النقاط الحرجة

x=cx = c (من مجال ff) تُسمّى نقطة حرجة إذا كان f′(c)=0f'(c) = 0 أو f′(c)f'(c) غير موجودة. عند هذه النقاط فقط يمكن أن تتغيّر إشارة f′f'، ومن ثمّ يتغيّر سلوك الدالة بين تزايد وتناقص.

جدول إشارة المشتقة

لتحديد فترات التزايد والتناقص:

  1. أوجد f′(x)f'(x) وبسّطها (حلّلها إن أمكن).
  2. أوجد النقاط الحرجة (أصفار البسط، وأصفار المقام حيث تنعدم f′f' أو تنعدم ff).
  3. رتّب هذه القيم على خطّ الأعداد، فتقسمه إلى فترات.
  4. اختبر إشارة f′f' في كل فترة بقيمة اختبار واحدة.
  5. استنتج: f′f' موجبة ⇒\Rightarrow تزايد، f′f' سالبة ⇒\Rightarrow تناقص.

النقاط الرئيسية

  • f′>0⇒f' > 0 \Rightarrow تزايد، وf′<0⇒f' < 0 \Rightarrow تناقص، وf′=0f' = 0 على فترة ⇒\Rightarrow ثبات.
  • النقاط الحرجة: حيث f′(x)=0f'(x) = 0 أو غير معرّفة.
  • إشارة f′f' لا تتغيّر إلا عند نقطة حرجة أو نقطة انقطاع.
  • استخدم جدول الإشارة مع قيم اختبار لتحديد الفترات.
  • الدالة قد تكون متزايدة على R\mathbb{R} كلّه حتى لو انعدمت f′f' عند نقطة واحدة (مثل x3x^3).

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: حدّد فترات تزايد وتناقص f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.

الحل: f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1). النقاط الحرجة: x=−1x = -1 وx=1x = 1.

الفترةx<−1x < -1−1<x<1-1 < x < 1x>1x > 1
إشارة f′f'++−-++
سلوك ffمتزايدةمتناقصةمتزايدة

إذن ff متزايدة على ]−∞,−1[\left]-\infty, -1\right[ وعلى ]1,∞[\left]1, \infty\right[، ومتناقصة على ]−1,1[\left]-1, 1\right[.

مثال ٢: حدّد فترات تزايد وتناقص f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3.

الحل: f′(x)=2x−4=2(x−2)f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2). النقطة الحرجة x=2x = 2. عند x<2x < 2 تكون f′<0f' < 0 (متناقصة)، وعند x>2x > 2 تكون f′>0f' > 0 (متزايدة).

مثال ٣: حدّد فترات تزايد وتناقص f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}.

الحل: بقاعدة القسمة:

f′(x)=(x2+1)(1)−x(2x)(x2+1)2=1−x2(x2+1)2f'(x) = \frac{(x^2 + 1)(1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}

المقام موجب دائمًا، فإشارة f′f' هي إشارة 1−x2=(1−x)(1+x)1 - x^2 = (1 - x)(1 + x). إذن f′>0f' > 0 عندما −1<x<1-1 < x < 1 (متزايدة)، وf′<0f' < 0 عندما x<−1x < -1 أو x>1x > 1 (متناقصة).

ملاحظات:

  • «متزايدة على الفترة» تعني: كلّما زاد xx زادت f(x)f(x)، ولا يلزم أن يكون المنحنى مستقيمًا.
  • عند نقطة انقطاع في المجال (كأصفار المقام)، افصل الفترات عندها ولا تصل الاستنتاج عبرها.
  • النقاط الحرجة هي المرشّحة للقيم القصوى، وهو موضوع الدرس التالي.

دروس ذات صلة