مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية

معلومات الدرس

الصف: الثالث الثانوي
المادة: الرياضيات البحتة
الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
الترم: الأول (الترم الأول)
رقم الدرس: ٣–١ (قسم التفاضل والتكامل — الوحدة الأولى: الاشتقاق وتطبيقاته)

الأهداف العامة

أن يشتقّ الطالب الدوال الأسية $e^x$ و $a^x$ واللوغاريتمية $\ln x$ و $\log_a x$ .
أن يطبّق قاعدة السلسلة على دوال أسية ولوغاريتمية مركّبة.
أن يستخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لاشتقاق دوال على صورة $[\,f(x)\,]^{g(x)}$ .

المحتوى الرئيسي

القواعد الأساسية

\frac{d}{dx}\,e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}\,a^x = a^x \ln a

\frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x} \;\; (x > 0), \qquad \frac{d}{dx}\,\log_a x = \frac{1}{x \ln a}

الدالة $e^x$ مميّزة لأنها تساوي مشتقتها. وثابت $e \approx 2.718$ هو الأساس الطبيعي.

مع قاعدة السلسلة

إذا كانت $u = u(x)$ دالة قابلة للاشتقاق:

\frac{d}{dx}\,e^{u} = e^{u}\,u', \qquad \frac{d}{dx}\,a^{u} = a^{u}\ln a \cdot u'

\frac{d}{dx}\,\ln u = \frac{u'}{u}, \qquad \frac{d}{dx}\,\log_a u = \frac{u'}{u \ln a}

الاشتقاق اللوغاريتمي

إذا كانت الدالة على صورة أُسّ متغيّر في أساس متغيّر، مثل $y = [\,f(x)\,]^{g(x)}$ ، فلا تصلح قاعدة القوة ولا قاعدة الأُس وحدهما. نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين:

\ln y = g(x)\,\ln f(x)

ثم نشتقّ ضمنيًّا: $\frac{y'}{y} = g'(x)\ln f(x) + g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}$ ، ونضرب في $y$ لإيجاد $y'$ . ويفيد الأسلوب نفسه في اشتقاق حواصل ضرب وقسمة معقّدة.

النقاط الرئيسية

$(e^x)' = e^x$ ، و $(a^x)' = a^x \ln a$ .
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$ ، و $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ .
مع السلسلة: $(e^u)' = e^u u'$ و $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ .
للدوال على صورة $[\,f(x)\,]^{g(x)}$ : خذ $\ln$ للطرفين ثم اشتقّ ضمنيًّا.
تذكّر: $\ln e = 1$ ، فتؤول $(a^x)'$ إلى $e^x$ عند $a = e$ .

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: أوجد مشتقة $y = e^{3x}$ .

الحل: $u = 3x$ ، $u' = 3$ ، إذن $y' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$ .

مثال ٢: أوجد مشتقة $y = \ln(x^2 + 1)$ .

الحل: $u = x^2 + 1$ ، $u' = 2x$ ، إذن $y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$ .

مثال ٣: أوجد مشتقة $y = x^2 e^x$ .

الحل: بقاعدة الضرب: $y' = 2x\,e^x + x^2\,e^x = e^x(x^2 + 2x)$ .

مثال ٤: أوجد مشتقة $y = \ln(\sin x)$ .

الحل: $u = \sin x$ ، $u' = \cos x$ ، إذن $y' = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ .

مثال ٥: أوجد مشتقة $y = x^x$ (حيث $x > 0$ ).

الحل: نأخذ $\ln$ للطرفين: $\ln y = x \ln x$ . باشتقاق ضمنيّ:

\frac{y'}{y} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1

إذن $y' = x^x(\ln x + 1)$ .

ملاحظات:

لا تخلط بين $a^x$ (أساس ثابت، أُسّ متغيّر: مشتقتها $a^x \ln a$ ) و $x^a$ (أساس متغيّر، أُسّ ثابت: مشتقتها $a x^{a-1}$ ).
$\ln x$ معرّفة فقط عند $x > 0$ ، لذا مشتقة $\ln|x|$ هي $\frac{1}{x}$ لكل $x \neq 0$ .
الاشتقاق اللوغاريتمي مفيد أيضًا عند اشتقاق حاصل ضرب أو قسمة عدّة عوامل.

مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية — الرياضيات البحتة