الاشتقاق الضمني والبارامتري

معلومات الدرس

كثير من المنحنيات تُعطى بعلاقة بين $x$ و $y$ لا يمكن (أو يصعب) فيها عزل $y$ ، مثل $x^3 + y^3 = 6xy$ . لإيجاد $\frac{dy}{dx}$ :

اشتقّ طرفَي المعادلة بالنسبة إلى $x$ ، معتبرًا $y$ دالة في $x$ ؛ فمشتقة أيّ تعبير في $y$ تُضرب في $\frac{dy}{dx}$ (قاعدة السلسلة). مثلًا $\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2\,\frac{dy}{dx}$ .
اجمع كل الحدود التي تحوي $\frac{dy}{dx}$ في طرف، والباقي في الطرف الآخر.
أخرج $\frac{dy}{dx}$ عاملًا مشتركًا واقسم لإيجادها.

إذا عُرّفت الإحداثيات بدلالة وسيط $t$ : $\;x = f(t)$ و $y = g(t)$ ، فإن ميل المنحنى يُعطى بـ:

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}, \qquad \frac{dx}{dt} \neq 0

الناتج يكون عادةً دالة في الوسيط $t$ .

المشتقة الثانية ليست $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ . الصحيح أن نشتقّ $\frac{dy}{dx}$ (وهي دالة في $t$ ) بالنسبة إلى $x$ عبر القاعدة نفسها:

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}

في الاشتقاق الضمني: اشتقّ الطرفين بالنسبة لـ $x$ ، وكل تعبير في $y$ يُضرب في $\frac{dy}{dx}$ .
ثم اعزل $\frac{dy}{dx}$ جبريًّا.
بارامتريًّا: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ .
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$ ، وليست ناتج قسمة المشتقتين الثانيتين.
لإيجاد ميل المماس، عوّض بإحداثيات النقطة (أو بقيمة الوسيط) بعد إيجاد المشتقة.

مثال ١: أوجد $\frac{dy}{dx}$ للعلاقة $x^2 + y^2 = 25$ ، ثم ميل المماس عند $(3, 4)$ .

الحل: باشتقاق الطرفين: $2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0$ ، ومنه $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ . وعند $(3, 4)$ : الميل $= -\frac{3}{4}$ .

مثال ٢: أوجد $\frac{dy}{dx}$ للعلاقة $x^3 + y^3 = 6xy$ .

الحل: باشتقاق الطرفين (مع قاعدة الضرب في الطرف الأيمن):

3x^2 + 3y^2\,\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\,\frac{dy}{dx}

نجمع حدود $\frac{dy}{dx}$ : $\;(3y^2 - 6x)\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$ ، إذن:

\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}

مثال ٣: إذا كان $x = t^2$ و $y = t^3$ ، أوجد $\frac{dy}{dx}$ .

الحل: $\frac{dx}{dt} = 2t$ و $\frac{dy}{dt} = 3t^2$ ، إذن:

\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2} \quad (t \neq 0)

مثال ٤: إذا كان $x = 2\cos t$ و $y = 3\sin t$ ، أوجد $\frac{dy}{dx}$ .

الحل: $\frac{dx}{dt} = -2\sin t$ و $\frac{dy}{dt} = 3\cos t$ ، إذن:

\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos t}{-2\sin t} = -\frac{3}{2}\cot t

ملاحظات:

ناتج الاشتقاق الضمني يظهر عادةً بدلالة $x$ و $y$ معًا، وهذا طبيعي.
تأكّد أن النقطة التي تحسب عندها الميل تحقّق المعادلة الأصلية.
في الاشتقاق البارامتري لا تختصر خطوة إيجاد $\frac{dx}{dt}$ و $\frac{dy}{dt}$ كلٌّ على حدة.