الأهداف العامة

• أن يستعيد الطالب مفهوم النهاية والاتصال وطريقة حسابهما في الحالات البسيطة.
• أن يتذكّر تعريف المشتقة بالنهاية والقواعد الأساسية للاشتقاق.
• أن يوجد التكامل غير المحدد للدوال كثيرة الحدود باستخدام قاعدة القوة.

المحتوى الرئيسي

النهايات والاتصال

نهاية الدالة $f$ عند $x = a$، ويُرمز لها $\lim_{x \to a} f(x)$، هي القيمة التي تقترب منها $f(x)$ كلّما اقترب $x$ من $a$ من الجهتين. وتوجد النهاية إذا تساوت النهايتان من اليمين ومن اليسار. من قواعدها: نهاية المجموع تساوي مجموع النهايات، ونهاية الحاصل تساوي حاصل النهايات، بشرط وجودها.

عند ظهور الصورة غير المعيّنة $\frac{0}{0}$ في دالة كسرية نلجأ إلى التحليل والاختزال. الدالة $f$ متصلة عند $x = a$ إذا تحقّقت الشروط الثلاثة: $f(a)$ معرّفة، و$\lim_{x \to a} f(x)$ موجودة، و$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

تعريف المشتقة

مشتقة الدالة $f$ عند $x$ هي:

وتمثّل ميل المماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة، ومعدّل تغيّر $f$ بالنسبة إلى $x$. تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة إذا وُجدت هذه النهاية، وكل دالة قابلة للاشتقاق عند نقطة فهي متصلة عندها (والعكس ليس دائمًا صحيحًا).

قواعد الاشتقاق الأساسية

• قاعدة القوة: $\frac{d}{dx}(x^n) = n\,x^{n-1}$، ومشتقة الثابت صفر.
• الخطّية: $\frac{d}{dx}[a\,f(x) + b\,g(x)] = a\,f'(x) + b\,g'(x)$.
• قاعدة الضرب: $(f g)' = f' g + f g'$.
• قاعدة القسمة: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}$.
• قاعدة السلسلة: $\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$.
• مثلثيًّا: $(\sin x)' = \cos x$، و$(\cos x)' = -\sin x$.

التكامل غير المحدد

التكامل عملية عكسية للاشتقاق. قاعدة القوة للتكامل:

حيث $c$ ثابت التكامل. والتكامل خطّي أيضًا: $\int [a\,f(x) + b\,g(x)]\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$.