الأهداف العامة

• أن يوجد الطالب المشتقة الثانية والثالثة وما بعدها لدالة معطاة.
• أن يفسّر المشتقة الثانية فيزيائيًّا (العجلة) في مسائل الحركة على خطّ مستقيم.
• أن يستنتج صيغة عامة للمشتقة النونية لدوال بسيطة.

المحتوى الرئيسي

التعريف والرموز

مشتقة الدالة $f$ تُسمّى المشتقة الأولى $f'(x)$، وهي بدورها دالة يمكن اشتقاقها لنحصل على المشتقة الثانية $f''(x)$، ثم الثالثة $f'''(x)$، وهكذا. الرموز الشائعة للمشتقة من الرتبة $n$:

فمثلًا $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)$. المشتقة الثانية تقيس معدّل تغيّر المشتقة الأولى، أي مدى تسارع تغيّر الدالة، وترتبط بتقعّر المنحنى (درس دراسة المنحنيات).

المعنى الفيزيائي في الحركة

إذا كانت $s(t)$ تمثّل إزاحة جسم يتحرّك على خطّ مستقيم عند الزمن $t$، فإن السرعة هي المشتقة الأولى للإزاحة والعجلة هي مشتقتها الثانية:

الصيغة العامة للمشتقة النونية

بحساب المشتقات المتتالية ورصد النمط يمكن تخمين صيغة $f^{(n)}(x)$ ثم قبولها. أمثلة مهمّة:

• كثيرة حدود من الدرجة $m$: مشتقتها من الرتبة $m+1$ (وما بعدها) تساوي صفرًا.
• $f(x) = \sin x$: المشتقات دورية بدور $4$، والصيغة العامة $f^{(n)}(x) = \sin\!\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$.
• $f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$: $\;f^{(n)}(x) = (-1)^n\,\frac{n!}{x^{\,n+1}}$.