معادلة المستوى في الفراغ

معلومات الدرس

الصف: الثالث الثانوي
المادة: الرياضيات البحتة
الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
الترم: الأول (الترم الأول)
رقم الدرس: ٢–٤ (الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ)

الأهداف العامة

أن يكتب الطالب معادلة مستوٍ بمعلومية نقطة عليه ومتجه عمودي عليه، والصورة العامة لها.
أن يوجد معادلة المستوى المارّ بثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة.
أن يحسب بُعد نقطة عن مستوٍ، والزاوية بين مستويين، ويحدّد التوازي والتعامد.

المحتوى الرئيسي

صورة النقطة والمتجه العمودي

يتحدّد المستوى بنقطة عليه $A(x_0, y_0, z_0)$ ومتجه عمودي عليه $\vec{n} = (a, b, c)$ . لأيّ نقطة $P(x, y, z)$ في المستوى يكون $\overrightarrow{AP} \perp \vec{n}$ ، أي $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} = 0$ :

a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0

وبفكّ الأقواس نصل إلى الصورة العامة:

a x + b y + c z + d = 0

حيث معاملات $x, y, z$ هي مركبات المتجه العمودي $\vec{n} = (a, b, c)$ .

المستوى المارّ بثلاث نقاط

إذا مرّ المستوى بالنقاط $A, B, C$ (غير الواقعة على استقامة واحدة)، فالمتجه العمودي عليه:

\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}

ثم نستخدم $\vec{n}$ مع إحدى النقاط لكتابة المعادلة.

البُعد والزاوية

بُعد النقطة $P(x_1, y_1, z_1)$ عن المستوى $a x + b y + c z + d = 0$ :

L = \frac{|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

الزاوية $\theta$ بين مستويين هي الزاوية بين متجهيهما العموديين $\vec{n_1}$ و $\vec{n_2}$ :

\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}

فيتوازى المستويان إذا توازى متجهاهما العموديان، ويتعامدان إذا كان $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ .

النقاط الرئيسية

المستوى يتحدّد بنقطة ومتجه عمودي.
صورة النقطة والمتجه العمودي: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ .
في الصورة العامة $a x + b y + c z + d = 0$ يكون $\vec{n} = (a, b, c)$ .
المستوى المارّ بثلاث نقاط: $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .
بُعد نقطة عن مستوٍ: $\frac{|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: اكتب معادلة المستوى المارّ بالنقطة $(1, 2, -1)$ والعمودي على المتجه $(3, -1, 2)$ .

الحل: $3(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z + 1) = 0$ ، وبالفكّ:

3x - y + 2z + 1 = 0

مثال ٢: أوجد معادلة المستوى المارّ بالنقاط $A(1, 0, 0)$ و $B(0, 2, 0)$ و $C(0, 0, 3)$ .

الحل: $\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)$ و $\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 3)$ ، والمتجه العمودي:

\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \big((2)(3) - 0,\; -[(-1)(3) - 0],\; 0 - (2)(-1)\big) = (6,\; 3,\; 2)

وبالنقطة $A(1, 0, 0)$ : $\;6(x - 1) + 3y + 2z = 0$ ، أي:

6x + 3y + 2z = 6

(تحقّق: عند $C(0,0,3)$ يكون $2 \times 3 = 6$ ، وعند $B(0,2,0)$ يكون $3 \times 2 = 6$ .)

مثال ٣: أوجد بُعد النقطة $(1, 1, 1)$ عن المستوى $2x - y + 2z + 5 = 0$ .

الحل:

L = \frac{|2(1) - 1(1) + 2(1) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|8|}{\sqrt{9}} = \frac{8}{3}

مثال ٤: بيّن أن المستويين $x + 2y + 2z = 1$ و $2x - 2y + z = 3$ متعامدان.

الحل: متجهاهما العموديان $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$ و $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$ ، وحاصل ضربهما القياسي:

\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-2) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0

إذن المستويان متعامدان.

ملاحظات:

المتجه العمودي غير وحيد؛ أيّ مضاعف غير صفري له يصلح.
إذا كان $d = 0$ فالمستوى يمرّ بنقطة الأصل.
الزاوية بين مستقيم ومستوٍ تُحسب من $\sin\theta = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}|\,|\vec{n}|}$ حيث $\vec{d}$ اتجاه المستقيم و $\vec{n}$ عمودي المستوى.

معادلة المستوى في الفراغ — الرياضيات البحتة