ذاكر مصر

الرياضيات البحتة · الصف الثالث الثانوي

ضرب المتجهات

الضرب القياسي (النقطي) والضرب الاتجاهي (المتجهي) للمتجهات في الفراغ، وخواصهما، واستخدامهما في إيجاد الزاوية والتعامد والتوازي والمساحات.

ضرب المتجهات — الرياضيات البحتة

معلومات الدرس

  • الصف: الثالث الثانوي
  • المادة: الرياضيات البحتة
  • الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
  • الترم: الأول (الترم الأول)
  • رقم الدرس: ٣–٣ (الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد)

الأهداف العامة

  • أن يحسب الطالب الضرب القياسي لمتجهين ويستخدمه في إيجاد الزاوية بينهما واختبار التعامد.
  • أن يحسب الضرب الاتجاهي لمتجهين ويستخدمه في إيجاد متجه عمودي عليهما ومساحة متوازي أضلاع أو مثلث.
  • أن يميّز بين ناتج كل نوع من الضربَين (عدد أم متجه) وخواصه.

المحتوى الرئيسي

الضرب القياسي (النقطي)

ناتج الضرب القياسي عدد حقيقي، ويُعرَّف بالمركبات وبالزاوية معًا:

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3=∣u⃗∣ ∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta

حيث θ\theta الزاوية بين المتجهين. ومن أهم خواصه: إبداليّ (u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u})، وتوزيعيّ على الجمع، وu⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2\vec{u}\cdot\vec{u} = |\vec{u}|^2. ومنه:

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣ ∣v⃗∣\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}

ويكون المتجهان متعامدين إذا وفقط إذا كان u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 (مع كون أيٍّ منهما غير صفري).

الضرب الاتجاهي (المتجهي)

ناتج الضرب الاتجاهي متجه، يُحسب بمفكوك المحدّد:

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=(u2v3−u3v2) i⃗−(u1v3−u3v1) j⃗+(u1v2−u2v1) k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (u_2 v_3 - u_3 v_2)\,\vec{i} - (u_1 v_3 - u_3 v_1)\,\vec{j} + (u_1 v_2 - u_2 v_1)\,\vec{k}

المتجه u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} عمودي على كلٍّ من u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v}، وطوله:

∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣ ∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin\theta

ومن خواصه: غير إبداليّ إذ v⃗×u⃗=−(u⃗×v⃗)\vec{v} \times \vec{u} = -(\vec{u} \times \vec{v}). ويكون المتجهان متوازيين إذا وفقط إذا كان u⃗×v⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}.

تطبيقات هندسية

  • مساحة متوازي الأضلاع المُنشأ على u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} ضلعين متجاورين =∣u⃗×v⃗∣= |\vec{u} \times \vec{v}|.
  • مساحة المثلث الذي ضلعاه u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} =12∣u⃗×v⃗∣= \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|.

النقاط الرئيسية

  • الضرب القياسي ناتجه عدد: u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
  • تعامد ⇔u⃗⋅v⃗=0\Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0؛ والزاوية من cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}.
  • الضرب الاتجاهي ناتجه متجه عمودي على المتجهين، ويُحسب بمحدّد 3×33 \times 3.
  • توازٍ ⇔u⃗×v⃗=0⃗\Leftrightarrow \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}.
  • مساحة المثلث =12∣u⃗×v⃗∣= \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|.

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: إذا كان u⃗=(1,2,3)\vec{u} = (1, 2, 3) وv⃗=(−2,1,4)\vec{v} = (-2, 1, 4)، أوجد u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

الحل: u⃗⋅v⃗=(1)(−2)+(2)(1)+(3)(4)=−2+2+12=12\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(4) = -2 + 2 + 12 = 12.

مثال ٢: أوجد قياس الزاوية بين a⃗=(1,0,1)\vec{a} = (1, 0, 1) وb⃗=(0,1,1)\vec{b} = (0, 1, 1).

الحل: a⃗⋅b⃗=0+0+1=1\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 + 0 + 1 = 1، و∣a⃗∣=2|\vec{a}| = \sqrt{2}، و∣b⃗∣=2|\vec{b}| = \sqrt{2}. إذن:

cos⁡θ=12⋅2=12  ⇒  θ=π3=60∘\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \theta = \frac{\pi}{3} = 60^\circ

مثال ٣: أوجد u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} حيث u⃗=(1,2,3)\vec{u} = (1, 2, 3) وv⃗=(−2,1,4)\vec{v} = (-2, 1, 4)، وتحقّق من عموديّته على u⃗\vec{u}.

الحل:

u⃗×v⃗=((2)(4)−(3)(1),  −[(1)(4)−(3)(−2)],  (1)(1)−(2)(−2))=(5,  −10,  5)\vec{u} \times \vec{v} = \big((2)(4) - (3)(1),\; -[(1)(4) - (3)(-2)],\; (1)(1) - (2)(-2)\big) = (5,\; -10,\; 5)

تحقّق: (5,−10,5)⋅(1,2,3)=5−20+15=0(5, -10, 5) \cdot (1, 2, 3) = 5 - 20 + 15 = 0، إذن هو عمودي على u⃗\vec{u}.

مثال ٤: أوجد مساحة المثلث الذي رؤوسه A(0,0,0)A(0, 0, 0) وB(1,2,3)B(1, 2, 3) وC(−2,1,4)C(-2, 1, 4).

الحل: AB→=(1,2,3)\overrightarrow{AB} = (1, 2, 3) وAC→=(−2,1,4)\overrightarrow{AC} = (-2, 1, 4)، ومن المثال السابق AB→×AC→=(5,−10,5)\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (5, -10, 5)، وطوله 25+100+25=150=56\sqrt{25 + 100 + 25} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}. إذن مساحة المثلث:

12 ∣AB→×AC→∣=562\frac{1}{2}\,\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \frac{5\sqrt{6}}{2}

ملاحظات:

  • لا تخلط: الضرب القياسي يعطي عددًا، والضرب الاتجاهي يعطي متجهًا.
  • i⃗×j⃗=k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}، وj⃗×k⃗=i⃗\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}، وk⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j} (بترتيب دوري).
  • إشارة u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} تكشف نوع الزاوية: موجبة (حادة)، صفر (قائمة)، سالبة (منفرجة).

دروس ذات صلة