طرق التكامل — ذاكر مصر

معلومات الدرس

الصف: الثالث الثانوي
المادة: الرياضيات البحتة
الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
الترم: الأول (الترم الأول)
رقم الدرس: ٢–٣ (قسم التفاضل والتكامل — الوحدة الثالثة: التكامل المحدد وتطبيقاته)

الأهداف العامة

أن يستخدم الطالب طريقة التعويض لتبسيط التكامل إلى صورة قياسية.
أن يطبّق طريقة التجزيء على حواصل ضرب الدوال.
أن يختار الطريقة المناسبة للتكامل حسب صورة الدالة.

المحتوى الرئيسي

طريقة التعويض

تُستخدم حين يحتوي التكامل على دالة مركّبة تصاحبها (بمعامل ثابت) مشتقة دالتها الداخلية. نضع $u$ مساويًا للتعبير الداخليّ، ونحسب $du = u'(x)\,dx$ ، ونعوّض لنحصل على تكامل أبسط في $u$ ، ثم نعود إلى $x$ .

مثال الفكرة: في $\int (2x + 3)^5\,dx$ نضع $u = 2x + 3$ ، فيكون $du = 2\,dx$ ، أي $dx = \frac{1}{2}\,du$ .

طريقة التجزيء

تعتمد على قاعدة اشتقاق حاصل الضرب، وصيغتها:

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

نختار جزءًا من الدالة ليكون $u$ (نشتقّه) والباقي مع $dx$ ليكون $dv$ (نكامله). قاعدة استرشادية لترتيب اختيار $u$ (الأولوية من اليسار): اللوغاريتمية، ثم الجبرية (كثيرات الحدود)، ثم المثلثية، ثم الأسية. الهدف أن يصبح التكامل الناتج $\int v\,du$ أبسط من الأصليّ.

اختيار الطريقة

وجود دالة داخلية ومشتقتها (بمعامل ثابت) $\to$ تعويض.
حاصل ضرب نوعين مختلفين من الدوال (كثيرة حدود $\times$ أسية أو مثلثية، أو لوغاريتم منفرد) $\to$ تجزيء.
كسر بسطه مشتقة مقامه $\to$ يعطي لوغاريتمًا مباشرة.

النقاط الرئيسية

التعويض: $u =$ التعبير الداخليّ، و $du = u'(x)\,dx$ .
التجزيء: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ .
رتّب اختيار $u$ : لوغاريتمية، فجبرية، فمثلثية، فأسية.
في $\int \ln x\,dx$ نأخذ $u = \ln x$ و $dv = dx$ .
تحقّق من الناتج بالاشتقاق.

تطبيقات / أمثلة

مثال ١ (تعويض): احسب $\int (2x + 3)^5\,dx$ .

الحل: $u = 2x + 3$ ، $dx = \frac{1}{2}\,du$ :

\int (2x + 3)^5\,dx = \frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + c = \frac{(2x + 3)^6}{12} + c

مثال ٢ (تعويض): احسب $\int \sin^3 x \cos x\,dx$ .

الحل: $u = \sin x$ ، $du = \cos x\,dx$ :

\int \sin^3 x \cos x\,dx = \int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + c = \frac{\sin^4 x}{4} + c

مثال ٣ (تجزيء): احسب $\int x\,e^x\,dx$ .

الحل: نأخذ $u = x$ (جبرية) و $dv = e^x\,dx$ ، فيكون $du = dx$ و $v = e^x$ :

\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + c = e^x(x - 1) + c

مثال ٤ (تجزيء): احسب $\int x\cos x\,dx$ .

الحل: $u = x$ ، $dv = \cos x\,dx$ ، فيكون $du = dx$ و $v = \sin x$ :

\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + c

مثال ٥ (تجزيء): احسب $\int \ln x\,dx$ .

الحل: $u = \ln x$ ، $dv = dx$ ، فيكون $du = \frac{1}{x}\,dx$ و $v = x$ :

\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + c

ملاحظات:

في التعويض، حوّل كل رموز $x$ (بما فيها $dx$ ) إلى $u$ قبل التكامل.
قد يلزم تطبيق التجزيء مرّتين متتاليتين (مثل $\int x^2 e^x\,dx$ ).
إذا زاد التكامل تعقيدًا بعد اختيارٍ لـ $u$ و $dv$ ، بدّل الاختيار.

طرق التكامل — الرياضيات البحتة