ملخص ضرب المتجهات — ثالثة ثانوي

مقدمة

عرفنا جمع المتجهات وضربها في عدد. فهل يمكن ضرب متجه في متجه؟ نعم، وبطريقتين تختلفان في الناتج والمعنى. الأولى تعطي عددًا وتستخدم لقياس الزاوية بين متجهين ولإيجاد الشغل في الفيزياء، والثانية تعطي متجهًا عموديًّا عليهما وتُستخدم لحساب المساحات وفي العزوم. وبعدهما يأتي حاصل الضرب الثلاثي لحساب الحجوم.

أهداف التعلم

تحسب الضرب القياسي لمتجهين وتستخدمه في إيجاد الزاوية بينهما واختبار التعامد.
تحسب مركبة متجه في اتجاه متجه آخر ومسقطه.
تحسب الضرب الاتجاهي بالمحدد وتستخدمه في إيجاد متجه عمودي ومساحة متوازي أضلاع أو مثلث واختبار التوازي.
تحسب الضرب الثلاثي القياسي وتستخدمه في إيجاد حجم متوازي سطوح واختبار وقوع ثلاثة متجهات في مستوى واحد.

شرح الدرس

الضرب القياسي

حاصل الضرب القياسي لمتجهين $\vec{a}$ و $\vec{b}$ بينهما زاوية $\theta$ ( $0 \le \theta \le \pi$ ) عدد حقيقي:

\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

ولتحديد الزاوية بين متجهين يجب أن يخرجا (أو يدخلا) من النقطة نفسها. من خواصه: $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$ (إبدالي)، و $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$ ، وتوزيعي على الجمع $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}$ ، و $(k\vec{a})\cdot\vec{b} = k(\vec{a}\cdot\vec{b})$ . ولمتجهات الوحدة $\vec{i}\cdot\vec{i} = 1$ و $\vec{i}\cdot\vec{j} = 0$ وهكذا.

الزاوية بين متجهين والتعامد

\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

فإذا كان $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ ولم يكن أي منهما صفريًا فالمتجهان متعامدان. وإذا كان $\cos\theta = 1$ تكون الزاوية $0$ (متوازيان في الاتجاه نفسه)، وإذا كان $\cos\theta = -1$ تكون الزاوية $\pi$ (متوازيان في اتجاهين متعاكسين). وإشارة الضرب القياسي تحدد نوع الزاوية: موجب حادة وسالب منفرجة.

مركبة متجه في اتجاه متجه آخر

المركبة القياسية للمتجه $\vec{a}$ في اتجاه $\vec{b}$ هي $|\vec{a}|\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}$ ، والمركبة الاتجاهية (المسقط) هي:

\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\,\vec{b}

الضرب الاتجاهي

حاصل الضرب الاتجاهي $\vec{a}\times\vec{b}$ متجه عمودي على المستوى الذي يحوي $\vec{a}$ و $\vec{b}$ ، واتجاهه بقاعدة اليد اليمنى (من $\vec{a}$ إلى $\vec{b}$ )، ومعياره:

|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\sin\theta

ويُحسب بالإحداثيات بمفكوك المحدد:

\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

متوازي أضلاع ضلعاه المتجهان u وv والمتجه u×v عمودي عليه، وطوله يساوي المساحة |u||v|sinθ

من خواصه: $\vec{a}\times\vec{b} = -\vec{b}\times\vec{a}$ (غير إبدالي)، و $\vec{a}\times\vec{a} = \vec{0}$ ، وتوزيعي على الجمع. ولمتجهات الوحدة الأساسية $\vec{i}\times\vec{j} = \vec{k}$ و $\vec{j}\times\vec{k} = \vec{i}$ و $\vec{k}\times\vec{i} = \vec{j}$ (دورانًا بهذا الترتيب).

التوازي والمساحة

المتجهان غير الصفريين متوازيان إذا وفقط إذا كان $\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$ (أي مركباتهما متناسبة).
مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه $\vec{a}$ و $\vec{b}$ ضلعان متجاوران تساوي $|\vec{a}\times\vec{b}|$ ، ومساحة المثلث الذي فيه ضلعان متجاوران $\vec{a}$ و $\vec{b}$ تساوي $\frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|$ .
متجه الوحدة العمودي على المستوى هو $\pm\dfrac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{a}\times\vec{b}|}$ .

الضرب الثلاثي القياسي

لثلاثة متجهات $\vec{a}$ و $\vec{b}$ و $\vec{c}$ يُعرَّف حاصل الضرب الثلاثي القياسي بـ $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ ويُحسب بالمحدد:

\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}

قيمته المطلقة تساوي حجم متوازي السطوح المنشأ على المتجهات الثلاثة، وإذا كانت صفرًا فالمتجهات الثلاثة تقع في مستوٍ واحد. وحجم الهرم الثلاثي (رباعي الوجوه) المنشأ عليها يساوي $\frac{1}{6}$ من هذه القيمة المطلقة.

تعريفات

الضرب القياسي (النقطي): عملية تعطي عددًا.
الضرب الاتجاهي: عملية تعطي متجهًا عموديًّا على المتجهين.
الضرب الثلاثي القياسي: $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ وهو عدد.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: إذا كان $|\vec{a}| = 6$ و $|\vec{b}| = 4$ والزاوية بينهما $60^\circ$ فأوجد $\vec{a}\cdot\vec{b}$ .

الحل: $6 \times 4 \times \cos 60^\circ = 12$ .

مثال 2: أوجد قياس الزاوية بين $\vec{a} = (1, 0, 1)$ و $\vec{b} = (0, 1, 1)$ .

الحل: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 1$ و $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$ فـ $\cos\theta = \frac{1}{2}$ و $\theta = 60^\circ$ .

مثال 3: أوجد $k$ التي تجعل $(2, k, 1)$ عموديًّا على $(1, 3, -5)$ .

الحل: $2 + 3k - 5 = 0$ فـ $k = 1$ .

مثال 4: أوجد مسقط $\vec{a} = (2, 3, 1)$ على $\vec{b} = (1, 2, 2)$ .

الحل: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 2 + 6 + 2 = 10$ و $|\vec{b}|^2 = 9$ ، فالمسقط $\frac{10}{9}(1, 2, 2)$ ومركبة $\vec{a}$ القياسية في اتجاه $\vec{b}$ تساوي $\frac{10}{3}$ .

مثال 5: أوجد $\vec{u}\times\vec{v}$ حيث $\vec{u} = (1, 2, 3)$ و $\vec{v} = (-2, 1, 4)$ وتحقق من عموديته على $\vec{u}$ .

الحل: $\vec{u}\times\vec{v} = (2\cdot4 - 3\cdot1,\; -(1\cdot4 - 3\cdot(-2)),\; 1\cdot1 - 2\cdot(-2)) = (5, -10, 5)$ . والتحقق: $(5,-10,5)\cdot(1,2,3) = 5 - 20 + 15 = 0$ .

مثال 6: أوجد مساحة المثلث $OAB$ حيث $O$ الأصل و $A(1, 2, 3)$ و $B(-2, 1, 4)$ .

الحل: $\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} = (5, -10, 5)$ ومعياره $\sqrt{150} = 5\sqrt{6}$ ، فالمساحة $\frac{5\sqrt{6}}{2}$ .

مثال 7: أوجد متجه وحدة عموديًّا على $\vec{i}$ و $\vec{j}+\vec{k}$ .

الحل: $\vec{i}\times(\vec{j}+\vec{k}) = \vec{k} - \vec{j} = (0, -1, 1)$ ومعياره $\sqrt{2}$ ، فمتجه الوحدة $\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ (أو معاكسه).

مثال 8: إذا كان $(2, -4, m)$ يوازي $(-1, k, 3)$ فأوجد $k$ و $m$ .

الحل: النسب متساوية: $\frac{2}{-1} = \frac{-4}{k} = \frac{m}{3} = -2$ فـ $k = 2$ و $m = -6$ .

مثال 9 (حجم): أوجد حجم متوازي السطوح المنشأ على $\vec{a} = (1, 2, 0)$ و $\vec{b} = (0, 1, 3)$ و $\vec{c} = (2, 0, 1)$ .

الحل: المحدد $= 1(1\cdot1 - 3\cdot0) - 2(0\cdot1 - 3\cdot2) + 0 = 1 + 12 = 13$ ، فالحجم $13$ وحدة مكعبة.

مثال 10: هل تقع $(1, 1, 0)$ و $(0, 1, 1)$ و $(1, 2, 1)$ في مستوٍ واحد؟

الحل: المحدد $= 1(1\cdot1 - 1\cdot2) - 1(0\cdot1 - 1\cdot1) + 0 = -1 + 1 = 0$ فالمتجهات الثلاثة متوازية المستوى (تقع في مستوٍ واحد).

ملاحظات مهمة

الضرب القياسي ناتجه عدد، والاتجاهي ناتجه متجه؛ لا تخلط بينهما.
لا تنس الإشارة السالبة أمام مركبة $\vec{j}$ في المحدد.
تبديل ترتيب المتجهين في الضرب الاتجاهي يعكس الإشارة.
التعامد شرطه ضرب قياسي صفر، والتوازي شرطه ضرب اتجاهي صفري.

المفاهيم الأساسية

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ .
التعامد: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ . والتوازي: $\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$ .
$|\vec{a}\times\vec{b}|$ مساحة متوازي الأضلاع، ونصفها مساحة المثلث.
$\left|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\right|$ حجم متوازي السطوح.

ملخص الدرس

الضرب القياسي يعطي عددًا ويقيس الزاوية والتعامد والمسقط، والضرب الاتجاهي يعطي متجهًا عموديًّا ويقيس المساحات ويكشف التوازي، والضرب الثلاثي القياسي يعطي حجم متوازي السطوح ويكشف وقوع المتجهات في مستوٍ واحد.

أسئلة للتدريب

أوجد الزاوية بين $\vec{a} = (2, -1, 2)$ و $\vec{b} = (1, 2, -2)$ .
أوجد قيمة $k$ التي تجعل $\vec{a} = (k, 2, -1)$ عموديًّا على $\vec{b} = (3, -1, 4)$ .
أوجد $\vec{a}\times\vec{b}$ ومساحة المثلث الذي ضلعاه $\vec{a} = (1, 1, 0)$ و $\vec{b} = (0, 2, 3)$ .
أوجد مسقط $(3, 4, 0)$ على $(1, 0, 0)$ .
أوجد حجم متوازي السطوح المنشأ على $(1,0,0)$ و $(1,2,0)$ و $(1,1,3)$ .