ملخص التيار الكهربي وقانون أوم وقانونا كيرشوف — ثالثة ثانوي

مقدمة

بعض الدوائر الكهربية بسيطة يكفي فيها قانون أوم، وبعضها تتشعب فيه الفروع وتتعدد المصادر فلا يكفي. في هذا الفصل نراجع المفاهيم الأساسية للكهربية التيارية، ثم نتعلم كيف نختزل مجموعة المقاومات إلى مقاومة مكافئة، ونطبق قانون أوم على الدائرة المغلقة بما فيها المقاومة الداخلية للمصدر، وأخيرًا نحل الدوائر المعقدة بقانوني كيرشوف.

أهداف التعلم

تراجع مفاهيم شدة التيار وفرق الجهد والقوة الدافعة والمقاومة وعوامل تحديدها.
تحسب المقاومة المكافئة لمقاومات موصلة على التوالي أو على التوازي أو بالتوصيلين معًا.
تطبق قانون أوم للدائرة المغلقة وتفسر العلاقة بين القوة الدافعة وفرق الجهد بين قطبي المصدر.
تنص على قانوني كيرشوف وتطبقهما على دوائر بها أكثر من مصدر.

شرح الدرس

مراجعة المفاهيم الأساسية

شدة التيار: $I = \dfrac{Q}{t}$ حيث $Q$ كمية الكهربية بالكولوم و $t$ الزمن بالثانية، وتقاس بالأمبير (كولوم/ثانية).
فرق الجهد بين نقطتين: $V = \dfrac{W}{Q}$ حيث $W$ الشغل بالجول، ويقاس بالفولت.
القوة الدافعة الكهربية لمصدر: الشغل الكلي اللازم لنقل وحدة الشحنات (كولوم) في الدائرة كلها، داخل المصدر وخارجه، وتقاس بالفولت.
المقاومة: ممانعة الموصل لمرور التيار، وتقاس بالأوم. وعند ثبوت درجة الحرارة تعتمد على طول الموصل ومساحة مقطعه ونوع مادته: $R = \rho_e \dfrac{\ell}{A}$ حيث $\rho_e$ المقاومة النوعية (أوم·متر)، $\ell$ الطول بالمتر، و $A$ مساحة المقطع بالمتر المربع. والتوصيلية الكهربية هي مقلوب المقاومة النوعية.
قانون أوم: تتناسب شدة التيار في موصل طرديًا مع فرق الجهد بين طرفيه عند ثبوت درجة الحرارة: $V = IR$ .
الاتجاه الاصطلاحي للتيار من القطب الموجب إلى السالب خارج المصدر، وهو عكس اتجاه حركة الإلكترونات.

توصيل المقاومات

على التوالي: تصل المقاومات واحدة بعد أخرى في ممر واحد للتيار، وللحصول على مقاومة كبيرة من مقاومات صغيرة. التيار واحد في الجميع، والجهد الكلي يساوي مجموع الجهود: $V = V_1 + V_2 + V_3$ ، ومنها $R = R_1 + R_2 + R_3$ فالمقاومة الكبيرة هي التي تحدد المقاومة الكلية. وإذا كانت $N$ مقاومة كل منها $R$ فإن $R_{eq} = NR$ .

على التوازي: للحصول على مقاومة صغيرة من مقاومات كبيرة. فرق الجهد واحد على الجميع، والتيار الكلي مجموع التيارات: $I = I_1 + I_2 + I_3$ ، ومنها $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ فالمقاومة المكافئة أقل من أصغر مقاومة، ويمر الجزء الأكبر من التيار في أصغر مقاومة. ولمقاومتين فقط: $R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ ، ولـ $N$ مقاومة متساوية $R_{eq} = \dfrac{R}{N}$ .

قانون أوم للدائرة المغلقة

لكل مصدر مقاومة داخلية $r$ . إذا كانت $V_B$ القوة الدافعة للمصدر و $R$ المقاومة الخارجية فالتيار: $I = \frac{V_B}{R + r}, \qquad \text{أي } V_B = IR + Ir$ أي أن القوة الدافعة تساوي الجهد على المقاومة الخارجية مضافًا إليه هبوط الجهد داخل المصدر. وفرق الجهد بين قطبي المصدر $V = V_B - Ir$ ؛ فكلما زادت $R$ قل التيار وزاد فرق الجهد بين القطبين، وعندما يصير التيار صغيرًا جدًا (دائرة مفتوحة) يساوي فرق الجهد بين القطبين القوة الدافعة تقريبًا.

قانونا كيرشوف

تُستخدم لدوائر معقدة لا يكفي لحلها قانون أوم.

القانون الأول (حفظ الشحنة): مجموع التيارات الداخلة إلى نقطة (عقدة) يساوي مجموع التيارات الخارجة منها، أي $\sum I_{in} = \sum I_{out}$ ، أو المجموع الجبري للتيارات عند العقدة صفر.

القانون الثاني (حفظ الطاقة): في أي مسار مغلق، المجموع الجبري للقوى الدافعة الكهربية يساوي المجموع الجبري لفروق الجهد ( $IR$ ): $\sum V_B = \sum IR$ .

قواعد الإشارات:

اتجاهات التيارات المرسومة افتراضية؛ فإذا خرجت القيمة سالبة فالاتجاه الفعلي عكس المفروض.
نفرض اتجاهًا للسير في الحلقة؛ يكون التيار موجبًا إذا وافق هذا الاتجاه وسالبًا إذا عاكسه.
تكون القوة الدافعة موجبة إذا مر اتجاه السير داخل المصدر من قطبه السالب إلى الموجب، وسالبة إذا مر من الموجب إلى السالب.

دائرة ذات حلقتين وبطاريتين تُحل بقانوني كيرشوف، مع قيم التيارات الثلاثة الناتجة

تعريفات

المقاومة المكافئة: مقاومة وحيدة تحل محل مجموعة المقاومات وتمر فيها التيار نفسه عند فرق الجهد نفسه.
المقاومة الداخلية: مقاومة مادة المصدر نفسه لمرور التيار داخله.
العقدة: نقطة تتلاقى عندها ثلاثة فروع أو أكثر.
المسار المغلق: مسار يبدأ من نقطة ويعود إليها عبر فروع الدائرة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: وُصلت مقاومات $10\,\Omega$ و $20\,\Omega$ و $30\,\Omega$ على التوالي ببطارية $12\,\text{V}$ ومقاومتها الداخلية مهملة. احسب التيار وفرق الجهد على كل مقاومة.

الحل: $R = 10 + 20 + 30 = 60\,\Omega$ ، فالتيار $I = \dfrac{12}{60} = 0.2\,\text{A}$ في كل مقاومة. $V_1 = 0.2 \times 10 = 2\,\text{V}$ و $V_2 = 4\,\text{V}$ و $V_3 = 6\,\text{V}$ ، ومجموعها $12\,\text{V}$ .

مثال 2: وُصلت المقاومات نفسها على التوازي بالبطارية نفسها. احسب التيار في كل فرع والتيار الكلي والمقاومة المكافئة.

الحل: فرق الجهد $12\,\text{V}$ على كل منها. $I_1 = \dfrac{12}{10} = 1.2\,\text{A}$ و $I_2 = 0.6\,\text{A}$ و $I_3 = 0.4\,\text{A}$ ، والكلي $2.2\,\text{A}$ . المقاومة المكافئة $\dfrac{12}{2.2} \approx 5.45\,\Omega$ ، وهي أقل من $10\,\Omega$ أصغر المقاومات.

مثال 3: مقاومتان $6\,\Omega$ و $3\,\Omega$ على التوازي، ووُصلت المجموعة على التوالي مع مقاومة $4\,\Omega$ وببطارية $18\,\text{V}$ (مقاومتها الداخلية مهملة). احسب المقاومة الكلية والتيار الكلي والتيار في المقاومة $6\,\Omega$ .

الحل: $R_{par} = \dfrac{6 \times 3}{6 + 3} = 2\,\Omega$ ، فالمقاومة الكلية $2 + 4 = 6\,\Omega$ والتيار $I = \dfrac{18}{6} = 3\,\text{A}$ . فرق الجهد على المجموعة المتوازية $3 \times 2 = 6\,\text{V}$ ، فالتيار في $6\,\Omega$ يساوي $\dfrac{6}{6} = 1\,\text{A}$ .

مثال 4 (الدائرة المغلقة): بطارية قوتها الدافعة $12\,\text{V}$ ومقاومتها الداخلية $0.5\,\Omega$ وصلت بمقاومة خارجية $5.5\,\Omega$ . احسب التيار وفرق الجهد بين قطبي البطارية.

الحل: $I = \dfrac{12}{5.5 + 0.5} = 2\,\text{A}$ . $V = V_B - Ir = 12 - 2 \times 0.5 = 11\,\text{V}$ ، وهو يساوي أيضًا $IR = 2 \times 5.5 = 11\,\text{V}$ .

مثال 5 (قانون كيرشوف الأول): تدخل عقدة ثلاثة تيارات $3\,\text{A}$ و $6\,\text{A}$ و $1\,\text{A}$ ويخرج تيار $5\,\text{A}$ وتيار آخر $I$ . أوجد $I$ .

الحل: $3 + 6 + 1 = 5 + I$ فيكون $I = 5\,\text{A}$ خارجًا من العقدة.

مثال 6 (حلقتان): في الدائرة التي في الشكل، فرع به بطارية $8\,\text{V}$ ومقاومة $1\,\Omega$ ، وفرع به بطارية $7\,\text{V}$ ومقاومة $1\,\Omega$ ، والفرع المشترك به مقاومة $2\,\Omega$ . أوجد التيارات.

الحل: عند العقدة $I_3 = I_1 + I_2$ . الحلقة الأولى: $8 = 1 \cdot I_1 + 2I_3 = 3I_1 + 2I_2$ . الحلقة الثانية: $7 = I_2 + 2I_3 = 2I_1 + 3I_2$ . بالحل: ضرب الأولى في 3 والثانية في 2 يعطي $24 = 9I_1 + 6I_2$ و $14 = 4I_1 + 6I_2$ ؛ بالطرح $10 = 5I_1$ فـ $I_1 = 2\,\text{A}$ ، و $I_2 = 1\,\text{A}$ ، و $I_3 = 3\,\text{A}$ .

مثال 7: سلكان من مادة واحدة، قطر الثاني نصف قطر الأول وطوله ضعف طول الأول. ما نسبة مقاومة الثاني إلى الأول؟

الحل: $R \propto \dfrac{\ell}{r^2}$ . فنسبة الطول $2$ ونسبة نصف القطر $\dfrac{1}{2}$ فمربعها $\dfrac{1}{4}$ ، ونسبة المقاومتين $\dfrac{2}{1/4} = 8$ .

ملاحظات مهمة

في التوالي يتساوى التيار، وفي التوازي يتساوى الجهد.
المقاومة المكافئة على التوازي أقل من أصغر مقاومة، وعلى التوالي أكبر من أكبر مقاومة.
فرق الجهد بين قطبي المصدر أقل من القوة الدافعة عند مرور تيار، ويساويها عندما لا يمر تيار.
في كيرشوف الثاني التزم باتجاه سير واحد في الحلقة طوال كتابة المعادلة.
الإشارة السالبة لتيار تعني أن اتجاهه الفعلي عكس المفروض وليس خطأ في الحل.

المفاهيم الأساسية

$I = Q/t$ و $V = IR$ و $R = \rho_e \ell / A$ .
التوالي: $R = \sum R_i$ . التوازي: $\dfrac{1}{R} = \sum \dfrac{1}{R_i}$ .
الدائرة المغلقة: $I = \dfrac{V_B}{R + r}$ و $V = V_B - Ir$ .
كيرشوف: $\sum I_{in} = \sum I_{out}$ و $\sum V_B = \sum IR$ .

ملخص الدرس

المقاومات على التوالي تجمع مقاوماتها ويتساوى فيها التيار، وعلى التوازي تجمع مقلوباتها ويتساوى فيها الجهد. وفي الدائرة المغلقة $I = V_B / (R + r)$ . وللدوائر المعقدة نطبق قانوني كيرشوف: حفظ الشحنة عند العقد، وحفظ الطاقة في الحلقات، مع الانتباه إلى قواعد الإشارات.

أسئلة للتدريب

أثبت أن المقاومة المكافئة لثلاث مقاومات على التوالي تساوي مجموعها.
أثبت أن مقلوب المقاومة المكافئة لثلاث مقاومات على التوازي يساوي مجموع مقلوباتها.
ما العوامل التي تعتمد عليها مقاومة موصل؟
بطارية قوتها الدافعة $15\,\text{V}$ ومقاومتها الداخلية $0.3\,\Omega$ وصلت بمقاومة خارجية $2.7\,\Omega$ ؛ احسب التيار وقراءة فولتميتر بين قطبيها قبل غلق الدائرة وبعده.
اذكر نص قانوني كيرشوف.