ذاكر مصر

الرياضيات البحتة · الصف الثالث الثانوي

الجذور التكعيبية للواحد الصحيح

إيجاد الجذور التكعيبية الثلاثة للواحد الصحيح 1 وω وω²، وخواصها الأساسية (مجموعها صفر، وω³ = 1)، واستخدامها في تبسيط المقادير والتحليل.

الجذور التكعيبية للواحد الصحيح — الرياضيات البحتة

معلومات الدرس

  • الصف: الثالث الثانوي
  • المادة: الرياضيات البحتة
  • الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
  • الترم: الأول (الترم الأول)
  • رقم الدرس: ٣–٢ (الوحدة الثانية: الأعداد المركبة)

الأهداف العامة

  • أن يوجد الطالب الجذور التكعيبية الثلاثة للواحد الصحيح في الصورتين المثلثية والجبرية.
  • أن يستنتج الخواص الأساسية للجذر المركّب ω\omega ويستخدمها.
  • أن يبسّط مقادير جبرية ويحلّل كثيرات حدود بالاستعانة بهذه الجذور.

المحتوى الرئيسي

إيجاد الجذور الثلاثة

نبحث عن حلول المعادلة z3=1z^3 = 1. نكتب 11 في الصورة المثلثية 1=cos⁡0+isin⁡01 = \cos 0 + i\sin 0، ونطبّق صيغة الجذور النونية مع n=3n = 3:

zk=cos⁡2kπ3+isin⁡2kπ3,k=0,1,2z_k = \cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}, \quad k = 0, 1, 2
  • k=0:  z0=cos⁡0+isin⁡0=1k = 0:\; z_0 = \cos 0 + i\sin 0 = 1.
  • k=1:  z1=cos⁡2π3+isin⁡2π3=−12+32 ik = 1:\; z_1 = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,i.
  • k=2:  z2=cos⁡4π3+isin⁡4π3=−12−32 ik = 2:\; z_2 = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\,i.

نرمز للجذر z1z_1 بالرمز ω\omega، فيكون z2=ω2z_2 = \omega^2، والجذور الثلاثة هي 1, ω, ω21,\ \omega,\ \omega^2. وهي تقع على دائرة الوحدة وتقسمها إلى ثلاثة أقواس متساوية.

خواص الجذر ω

  1. ω3=1\omega^3 = 1 (لأنه جذر للمعادلة z3=1z^3 = 1)، ومنه ω3k=1\omega^{3k} = 1 لأي عدد صحيح kk.
  2. 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0: مجموع جذور المعادلة z3−1=0z^3 - 1 = 0 يساوي صفرًا لانعدام معامل z2z^2. نتيجة مفيدة: 1+ω=−ω21 + \omega = -\omega^2، و1+ω2=−ω1 + \omega^2 = -\omega، وω+ω2=−1\omega + \omega^2 = -1.
  3. ω2=ω‾\omega^2 = \overline{\omega}: الجذران المركّبان مترافقان، وحاصل ضربهما ω⋅ω2=ω3=1\omega \cdot \omega^2 = \omega^3 = 1.
  4. اختزال الأُسّ: أيّ قوة لـ ω\omega تُختزل بقسمة الأُس على 33 وأخذ الباقي: ω3k=1\omega^{3k} = 1، وω3k+1=ω\omega^{3k+1} = \omega، وω3k+2=ω2\omega^{3k+2} = \omega^2.

الاستخدام في التحليل

من 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0 نجد أن ω,ω2\omega, \omega^2 جذران للمقدار z2+z+1z^2 + z + 1، ومن ثمّ:

z3−1=(z−1)(z−ω)(z−ω2)=(z−1)(z2+z+1)z^3 - 1 = (z - 1)(z - \omega)(z - \omega^2) = (z - 1)(z^2 + z + 1)

وبالمثل z3+1=(z+1)(z+ω)(z+ω2)=(z+1)(z2−z+1)z^3 + 1 = (z + 1)(z + \omega)(z + \omega^2) = (z + 1)(z^2 - z + 1).

النقاط الرئيسية

  • الجذور التكعيبية للواحد: 1, ω, ω21,\ \omega,\ \omega^2 حيث ω=−12+32 i\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,i.
  • ω3=1\omega^3 = 1 و 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0 هما المفتاحان لكل التبسيطات.
  • ω2=ω‾\omega^2 = \overline{\omega} و ω⋅ω2=1\omega \cdot \omega^2 = 1.
  • تُختزل قوى ω\omega بأخذ باقي قسمة الأُس على 33.
  • z2+z+1=(z−ω)(z−ω2)z^2 + z + 1 = (z - \omega)(z - \omega^2).

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: أثبت أن ω4+ω2+1=0\omega^4 + \omega^2 + 1 = 0.

الحل: ω4=ω3⋅ω=1⋅ω=ω\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega. إذن المقدار =ω+ω2+1=0= \omega + \omega^2 + 1 = 0 (بالخاصية الثانية).

مثال ٢: بسّط (1+ω−ω2)3(1 + \omega - \omega^2)^3.

الحل: بما أن 1+ω=−ω21 + \omega = -\omega^2، فإن 1+ω−ω2=−ω2−ω2=−2ω21 + \omega - \omega^2 = -\omega^2 - \omega^2 = -2\omega^2. إذن:

(1+ω−ω2)3=(−2ω2)3=−8 ω6=−8 (ω3)2=−8×1=−8(1 + \omega - \omega^2)^3 = (-2\omega^2)^3 = -8\,\omega^6 = -8\,(\omega^3)^2 = -8 \times 1 = -8

مثال ٣: أوجد قيمة (1−ω+ω2)(1+ω−ω2)(1 - \omega + \omega^2)(1 + \omega - \omega^2).

الحل: 1+ω2=−ω1 + \omega^2 = -\omega، إذن 1−ω+ω2=−ω−ω=−2ω1 - \omega + \omega^2 = -\omega - \omega = -2\omega. ومن المثال السابق 1+ω−ω2=−2ω21 + \omega - \omega^2 = -2\omega^2. إذن:

(1−ω+ω2)(1+ω−ω2)=(−2ω)(−2ω2)=4 ω3=4(1 - \omega + \omega^2)(1 + \omega - \omega^2) = (-2\omega)(-2\omega^2) = 4\,\omega^3 = 4

ملاحظات:

  • الرمز ω\omega يمثّل أيًّا من الجذرين المركّبين؛ إن اخترت ω=z2\omega = z_2 فإن z1=ω2z_1 = \omega^2، والخواص نفسها تبقى صحيحة.
  • عند ظهور ω\omega بأُسّ كبير، اختزل الأُس فورًا باستخدام ω3=1\omega^3 = 1 قبل أي خطوة أخرى.
  • استبدال 11 بـ −(ω+ω2)-(\omega + \omega^2) (أو العكس) حيلة متكرّرة لتبسيط المقادير.

دروس ذات صلة