ذاكر مصر

الرياضيات البحتة · الصف الثالث الثانوي

الصورة المثلثية للعدد المركب

تمثيل العدد المركب بالمقياس والسعة، وكتابته في الصورة المثلثية r(cos θ + i sin θ)، وضربه وقسمته بهذه الصورة، مع أمثلة محلولة.

الصورة المثلثية للعدد المركب — الرياضيات البحتة

معلومات الدرس

  • الصف: الثالث الثانوي
  • المادة: الرياضيات البحتة
  • الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
  • الترم: الأول (الترم الأول)
  • رقم الدرس: ١–٢ (الوحدة الثانية: الأعداد المركبة)

الأهداف العامة

  • أن يوجد الطالب مقياس عدد مركب وسعته من صورته الجبرية.
  • أن يكتب العدد المركب في الصورة المثلثية ويعود منها إلى الصورة الجبرية.
  • أن يستخدم الصورة المثلثية في ضرب عددين مركبين وقسمتهما.

المحتوى الرئيسي

المقياس والسعة

العدد المركب z=x+y iz = x + y\,i يُمثَّل بالنقطة (x,y)(x, y) في المستوى المركّب (محور حقيقي أفقي ومحور تخيّلي رأسي). ولهذا التمثيل مقدارَان أساسيّان:

المقياس (الطويلة) هو بُعد النقطة عن نقطة الأصل:

r=∣z∣=x2+y2r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}

السعة θ\theta هي قياس الزاوية الموجّهة من الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي إلى الشعاع الواصل من الأصل إلى النقطة، وتتحقّق:

cos⁡θ=xr,sin⁡θ=yr,tan⁡θ=yx\cos\theta = \frac{x}{r}, \qquad \sin\theta = \frac{y}{r}, \qquad \tan\theta = \frac{y}{x}

ولتعيين θ\theta بدقّة نحدّد الربع الذي تقع فيه النقطة (x,y)(x, y) من إشارتَي xx وyy، ثم نأخذ الزاوية المناسبة. تُسمّى القيمة الواقعة في الفترة (−π,π](-\pi, \pi] السعة الرئيسية.

كتابة العدد في الصورة المثلثية

بالتعويض عن x=rcos⁡θx = r\cos\theta وy=rsin⁡θy = r\sin\theta في z=x+y iz = x + y\,i نحصل على:

z=r (cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta)

وتُختصر أحيانًا بالرمز z=rcis⁡θz = r\operatorname{cis}\theta. وللرجوع إلى الصورة الجبرية نحسب cos⁡θ\cos\theta وsin⁡θ\sin\theta ونضرب في rr. لاحظ أن السعة غير وحيدة: إضافة أي مضاعف صحيح لـ 2π2\pi إلى θ\theta يعطي العدد نفسه، أي z=r [cos⁡(θ+2kπ)+isin⁡(θ+2kπ)]z = r\,[\cos(\theta + 2k\pi) + i\sin(\theta + 2k\pi)] حيث kk عدد صحيح.

الضرب والقسمة بالصورة المثلثية

إذا كان z1=r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) وz2=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)، فباستخدام متطابقتَي مجموع زاويتين ينتج:

z1z2=r1r2 [cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)]z_1 z_2 = r_1 r_2\,[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] z1z2=r1r2 [cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2)]\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\,[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]

القاعدة باختصار: عند الضرب تُضرب المقاييس وتُجمع السعات، وعند القسمة تُقسم المقاييس وتُطرح السعات. هذه الخاصية هي ما يجعل الصورة المثلثية أداة قوية، وهي الأساس المباشر لنظرية ديموافر في الدرس التالي.

النقاط الرئيسية

  • r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}، وهو دائمًا عدد غير سالب.
  • تُعيَّن السعة من cos⁡θ=xr\cos\theta = \frac{x}{r} وsin⁡θ=yr\sin\theta = \frac{y}{r} معًا، مع تحديد الربع؛ الاعتماد على tan⁡θ\tan\theta وحده قد يعطي زاوية في الربع الخطأ.
  • الصورة المثلثية: z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta).
  • ضرب: اضرب المقاييس واجمع السعات. قسمة: اقسم المقاييس واطرح السعات.
  • السعة تتكرّر كل 2π2\pi؛ السعة الرئيسية في (−π,π](-\pi, \pi].

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: اكتب العدد z=1+iz = 1 + i في الصورة المثلثية.

الحل: r=12+12=2r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}. والنقطة (1,1)(1, 1) في الربع الأول، وcos⁡θ=12\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}، sin⁡θ=12\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}، إذن θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}.

z=2(cos⁡π4+isin⁡π4)z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)

مثال ٢: اكتب العدد z=−1+3 iz = -1 + \sqrt{3}\,i في الصورة المثلثية.

الحل: r=(−1)2+(3)2=1+3=2r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2. والنقطة (−1,3)(-1, \sqrt{3}) في الربع الثاني، وcos⁡θ=−12\cos\theta = -\frac{1}{2}، sin⁡θ=32\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}، إذن θ=2π3\theta = \frac{2\pi}{3}.

z=2(cos⁡2π3+isin⁡2π3)z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)

مثال ٣: إذا كان z1=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) وz2=3(cos⁡π3+isin⁡π3)z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)، أوجد z1z2z_1 z_2.

الحل: نضرب المقياسين ونجمع السعتين: r=2×3=6r = 2 \times 3 = 6، وθ=π6+π3=π2\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}.

z1z2=6(cos⁡π2+isin⁡π2)=6(0+i)=6iz_1 z_2 = 6\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 6(0 + i) = 6i

ملاحظات:

  • تحقّق من الربع قبل تثبيت السعة: مثلًا tan⁡θ=1\tan\theta = 1 يحتمل θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} (ربع أول) أو θ=5π4\theta = \frac{5\pi}{4} (ربع ثالث)، وإشارتا x,yx, y هما ما يحسم الاختيار.
  • عند z=0z = 0 يكون r=0r = 0 والسعة غير معرّفة.
  • الصورة المثلثية تُبسّط الضرب والقسمة والرفع للقوى، لكن الجمع والطرح يظلّان أسهل في الصورة الجبرية.

دروس ذات صلة