الأهداف العامة

• أن يستخدم الطالب صيغة الحد العام لإيجاد أُسّ $x$ في أي حدٍّ بدلالة رتبته.
• أن يوجد معامل قوة معيّنة $x^k$ أو الحد الثابت في مفكوك ذات الحدين دون كتابة المفكوك كاملًا.
• أن يحكم على وجود أو عدم وجود حدٍّ يشتمل على قوة مطلوبة من خلال قيمة $r$.

المحتوى الرئيسي

الحد العام أداةً للبحث عن قوة معيّنة

في مفكوك $(a + b)^n$ يكون الحد ذو الرتبة $(r+1)$:

في هذا الدرس يكون كلٌّ من $a$ و$b$ مقدارًا يحتوي قوةً من $x$ (مثل $2x^2$، أو $\frac{3}{x}$). فعند التعويض في الحد العام تجتمع قوى $x$، فنجمع أُسسها لنحصل على أُسّ $x$ بدلالة $r$. المطلوب بعد ذلك أن نجعل هذا الأُس مساويًا للقيمة $k$، ونحل المعادلة الناتجة لإيجاد $r$، ثم نعوّض بقيمة $r$ لإيجاد الحد ومعامله.

المهارة الأساسية هي ضبط قوانين الأُسس: $x^m \cdot x^\ell = x^{m+\ell}$، و$(x^m)^\ell = x^{m\ell}$، و$\frac{1}{x^\ell} = x^{-\ell}$.

خطوات إيجاد الحد المشتمل على س^ك

١. اكتب الحد العام $T_{r+1} = \binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}$، حيث $a$ الحد الأول و$b$ الحد الثاني. ٢. بسّط الثوابت والمعاملات العددية، واجمع أُسس $x$ للحصول على $x$ مرفوعًا لمقدار يحوي $r$. ٣. ساوِ أُسّ $x$ بالقيمة $k$، وكوّن معادلة في $r$. ٤. حُل المعادلة. تحقّق أن الناتج $r$ عدد صحيح وأن $0 \le r \le n$؛ فإن لم يتحقق ذلك فلا يوجد حدٌّ يشتمل على $x^k$ (معامله يساوي صفرًا). ٥. عوّض بقيمة $r$ في الحد العام لإيجاد الحد المطلوب ومعامله.

للحد الثابت (المطلق، الخالي من $x$): كرّر الخطوات نفسها بعد وضع $k = 0$، أي اجعل أُسّ $x$ مساويًا للصفر.

حالات عدم وجود الحد

إذا نتج من حل المعادلة في الخطوة الرابعة قيمة $r$:

• كسرية (غير صحيحة)، أو
• سالبة، أو
• أكبر من $n$،

فهذا يعني أنه لا يوجد في المفكوك حدٌّ يشتمل على القوة المطلوبة، ومعامل تلك القوة يساوي صفرًا. مثال سريع: في مفكوك $\left(x + \frac{1}{x}\right)^5$ يكون أُسّ $x$ في الحد العام هو $5 - 2r$، والبحث عن حدٍّ ثابت يعطي $5 - 2r = 0$ ومنه $r = 2.5$ وهي غير صحيحة، إذن لا يوجد حدٌّ ثابت في هذا المفكوك.