الأهداف العامة

• أن يكتب الطالب مفكوك المقدار $(x + y)^n$ حيث $n$ عدد صحيح موجب باستخدام صيغة نظرية ذات الحدين.
• أن يستنتج خصائص المفكوك (عدد الحدود، مجموع الأسّين في كل حد، تماثل المعاملات) ويربطها بمثلث باسكال.
• أن يوجد حدًّا معيّنًا في المفكوك باستخدام صيغة الحد العام دون كتابة المفكوك كاملًا.

المحتوى الرئيسي

صيغة مفكوك ذات الحدين

لأي عددين حقيقيين $x$، $y$ ولأي عدد صحيح موجب $n$ يكون:

حيث $\binom{n}{r}$ هو عدد التوافيق (معامل ذات الحدين)، ويُقرأ «توافيق $n$ أشياء مأخوذة $r$ في المرة»، وقيمته:

من الصيغة نستنتج مباشرةً:

• عدد الحدود في المفكوك $= n + 1$.
• في كل حدٍّ يكون مجموع أُسّ $x$ وأُسّ $y$ مساويًا $n$؛ فأُس $x$ يبدأ بـ $n$ ويتناقص واحدًا واحدًا حتى يصل إلى صفر، بينما أُس $y$ يبدأ بصفر ويتزايد حتى يصل إلى $n$.
• المعاملات في طرفَي المفكوك متماثلة: $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$، و$\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$، وهكذا.

في حالة الفرق $(x - y)^n$ نعوّض عن $y$ بـ $(-y)$، فتتناوب إشارات الحدود بين موجب وسالب، ويكون الحد ذو الرتبة $(r+1)$ مضروبًا في $(-1)^r$.

خصائص المفكوك ومثلث باسكال

تماثل المعاملات: $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$. لذلك فإن معاملات الحدود المتساوية البُعد عن طرفَي المفكوك متساوية.

مجموع المعاملات: بوضع $x = y = 1$ في المفكوك نحصل على مجموع كل المعاملات $= 2^n$. وبوضع $x = 1$، $y = -1$ (عندما $n \ge 1$) يكون مجموع المعاملات $= 0$، أي أن مجموع معاملات الحدود ذات الرتب الفردية يساوي مجموع معاملات الحدود ذات الرتب الزوجية، وكلٌّ منهما $= 2^{\,n-1}$.

مثلث باسكال: ترتيب لمعاملات ذات الحدين على صورة مثلث؛ كل عدد فيه يساوي مجموع العددين اللذين فوقه مباشرةً في الصف السابق:

n = 0:            1
n = 1:          1   1
n = 2:        1   2   1
n = 3:      1   3   3   1
n = 4:    1   4   6   4   1
n = 5:  1   5  10  10   5   1

ويُعبَّر عن قاعدة تكوينه رمزيًّا بـ متطابقة باسكال: $\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$.

الحد العام والحالات الخاصة

الحد العام: الحد ذو الرتبة $(r+1)$ في مفكوك $(x + y)^n$، ونرمز له بـ $T_{r+1}$، هو:

نستخدمه لإيجاد أي حدٍّ بعينه دون كتابة المفكوك كله؛ فالحد الرابع مثلًا يقابل $r = 3$.

حالات خاصة مهمة:

• $(1 + x)^n = 1 + \binom{n}{1} x + \binom{n}{2} x^2 + \cdots + x^n$، وحدُّه العام $\binom{n}{r} x^r$.
• الحد الأوسط: إذا كان $n$ زوجيًّا فللمفكوك حدٌّ أوسط واحد رتبته $\frac{n}{2} + 1$. وإذا كان $n$ فرديًّا فله حدّان أوسطان رتبتاهما $\frac{n+1}{2}$ و $\frac{n+3}{2}$.