النسبة بين حدين متتاليين من مفكوك ذات الحدين

معلومات الدرس

الصف: الثالث الثانوي
المادة: الرياضيات البحتة
الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
الترم: الأول (الترم الأول)
رقم الدرس: ٣–١ (الوحدة الأولى: نظرية ذات الحدين)

الأهداف العامة

أن يشتقّ الطالب النسبة بين حدٍّ متتالٍ والذي يسبقه في مفكوك ذات الحدين.
أن يستخدم هذه النسبة في تحديد أكبر حدٍّ عدديًّا في المفكوك عند قيمة معطاة للمتغيّر.
أن يوظّف النسبة بين المعاملات في إيجاد قيمة الأُس $n$ أو رتبة حدٍّ من معطيات عن حدود متتالية.

المحتوى الرئيسي

اشتقاق النسبة بين حدين متتاليين

في مفكوك $(a + b)^n$ ، الحدّان المتتاليان هما $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ ، و $T_{r+2} = \binom{n}{r+1} a^{n-r-1} b^{r+1}$ . وبقسمة الثاني على الأول:

\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n}{r}} \cdot \frac{b}{a}

ومن خواص التوافيق نعلم أن $\binom{n}{r+1} \div \binom{n}{r} = \frac{n - r}{r + 1}$ . إذن:

\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{n - r}{r + 1} \cdot \frac{b}{a}

هذه الصيغة تربط أي حدٍّ بالحد الذي يسبقه دون حساب الحدين كاملين، وهي الأساس لكل تطبيقات الدرس.

إيجاد أكبر حدٍّ عدديًّا في المفكوك

عند تعويض قيمة عددية للمتغيّر تصبح حدود المفكوك أعدادًا، ونريد أكبرها في القيمة المطلقة. الفكرة: ما دامت النسبة (بالقيمة المطلقة) $\left|\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}\right|$ أكبر من الواحد فإن الحدود متزايدة، وحين تصير أقل من الواحد تبدأ الحدود في التناقص. لذلك:

١. كوّن النسبة $\left|\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}\right|$ بدلالة $r$ . ٢. ضع الشرط $\left|\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}\right| \ge 1$ وحُلّه في $r$ . ٣. أكبر قيمة صحيحة لـ $r$ تحقّق الشرط تحدّد موضع أكبر حد؛ فالحد $T_{r+2}$ عند تلك القيمة هو الأكبر (أو أحد حدّين متساويين إذا تحقّقت المساواة تمامًا). ٤. احسب قيمة ذلك الحد.

النسبة بين المعاملات لإيجاد ن أو رتبة حد

إذا أعطيت العلاقة بين معاملات حدود متتالية (كأن يقال: نسبة معامل الحد الرابع إلى معامل الحد الخامس هي $2 : 3$ )، نستخدم:

\frac{\binom{n}{r}}{\binom{n}{r+1}} = \frac{r + 1}{n - r}

نعوّض برتبة الحدود المعطاة، نساوي بالنسبة المعطاة، ونحل المعادلة الناتجة لإيجاد $n$ . ويُستخدم الأسلوب نفسه لإثبات أن معاملات حدود معيّنة في تتابع حسابي، أو لإيجاد رتبة الحد الأوسط ومقارنته بغيره.

النقاط الرئيسية

الصيغة المحورية: $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{n - r}{r + 1} \cdot \frac{b}{a}$ .
نسبة المعاملات وحدها: $\frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n}{r}} = \frac{n - r}{r + 1}$ .
أكبر حدٍّ عدديًّا يقع عند القيمة التي تنتقل عندها النسبة المطلقة من « $\ge 1$ » إلى « $< 1$ ».
عند تعويض قيمة سالبة للمتغيّر نستعمل القيمة المطلقة للنسبة عند البحث عن أكبر حد عدديًّا.
المعطيات عن «حدود متتالية» تُترجم مباشرةً إلى معادلة في $n$ باستخدام نسبة المعاملات.

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: أوجد أكبر حدٍّ عدديًّا في مفكوك $(1 + 2x)^{10}$ عند $x = 1$ .

الحل: هنا $a = 1$ ، و $b = 2x = 2$ ، و $n = 10$ . النسبة:

\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{10 - r}{r + 1} \cdot 2

الشرط $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} \ge 1$ يعطي:

2(10 - r) \ge r + 1 \;\Rightarrow\; 20 - 2r \ge r + 1 \;\Rightarrow\; 19 \ge 3r \;\Rightarrow\; r \le 6.33

أكبر قيمة صحيحة: $r = 6$ ، فيكون أكبر الحدود هو $T_8$ (أي $r + 2 = 8$ ).

T_8 = \binom{10}{7} (1)^3 (2)^7 = 120 \times 128 = 15360

للتحقق: $T_7 = \binom{10}{6}(2)^6 = 210 \times 64 = 13440$ ، و $T_9 = \binom{10}{8}(2)^8 = 45 \times 256 = 11520$ ، وكلاهما أصغر من $T_8$ .

مثال ٢: في مفكوك $(1 + x)^n$ ، نسبة معامل الحد الرابع إلى معامل الحد الخامس تساوي $2 : 3$ . أوجد $n$ .

الحل: معامل الحد الرابع $= \binom{n}{3}$ ، ومعامل الحد الخامس $= \binom{n}{4}$ . إذن:

\frac{\binom{n}{3}}{\binom{n}{4}} = \frac{3 + 1}{n - 3} = \frac{4}{n - 3}

نساويها بـ $\frac{2}{3}$ :

\frac{4}{n - 3} = \frac{2}{3} \;\Rightarrow\; 12 = 2(n - 3) \;\Rightarrow\; n - 3 = 6 \;\Rightarrow\; n = 9

ملاحظات:

الصيغة مشتقّة من نسبة معاملَي ذات الحدين المتتاليين مضروبةً في نسبة الحدّ الثاني إلى الأول $\left(\frac{b}{a}\right)$ .
في مسائل «أكبر حد» تأكّد من استخدام القيمة العددية للمتغيّر داخل $b$ قبل تكوين النسبة.
إذا نتجت مساواة تامة (النسبة $= 1$ عند قيمة صحيحة لـ $r$ ) فهذا يعني وجود حدّين متتاليين متساويين وكلاهما الأكبر.

النسبة بين حدين متتاليين من مفكوك ذات الحدين — الرياضيات البحتة