ذاكر مصر

الرياضيات البحتة · الصف الثالث الثانوي

التكامل المحدد

مفهوم التكامل المحدد كنهاية لمجاميع أو مساحة، والنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لحسابه، وخواصه، والتعويض مع تغيير الحدود.

التكامل المحدد — الرياضيات البحتة

معلومات الدرس

  • الصف: الثالث الثانوي
  • المادة: الرياضيات البحتة
  • الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
  • الترم: الأول (الترم الأول)
  • رقم الدرس: ٣–٣ (قسم التفاضل والتكامل — الوحدة الثالثة: التكامل المحدد وتطبيقاته)

الأهداف العامة

  • أن يفهم الطالب التكامل المحدد كقيمة عددية مرتبطة بالمساحة تحت المنحنى.
  • أن يحسب التكامل المحدد باستخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.
  • أن يطبّق خواص التكامل المحدد والتعويض مع تغيير حدود التكامل.

المحتوى الرئيسي

مفهوم التكامل المحدد

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx عددٌ حقيقيّ يُعرَّف كنهاية لمجاميع مساحات مستطيلات تقسّم المنطقة بين المنحنى y=f(x)y = f(x) والمحور xx من x=ax = a إلى x=bx = b. فإذا كانت f(x)≥0f(x) \ge 0 على [a,b][a, b] فإن التكامل يمثّل مساحة تلك المنطقة.

النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل

إذا كانت FF دالة أصلية لـ ff (أي F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)) وff متصلة على [a,b][a, b]، فإن:

∫abf(x) dx=[ F(x) ]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = \big[\,F(x)\,\big]_a^b = F(b) - F(a)

فلا حاجة لثابت التكامل في التكامل المحدد لأنه يُحذف عند الطرح.

خواص التكامل المحدد

∫aaf(x) dx=0,∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^a f(x)\,dx = 0, \qquad \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx ∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx=∫acf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx ∫ab[αf(x)+βg(x)] dx=α∫abf(x) dx+β∫abg(x) dx\int_a^b \big[\alpha f(x) + \beta g(x)\big]\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx

التعويض مع تغيير الحدود

عند استخدام التعويض u=u(x)u = u(x) في تكامل محدد، إمّا أن نعود إلى xx قبل التعويض بالحدود، أو (الأسهل) نغيّر حدّي التكامل إلى قيمتَي uu المقابلتين لـ x=ax = a وx=bx = b ونكمل في uu مباشرة.

النقاط الرئيسية

  • ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) حيث F′=fF' = f.
  • إذا كانت f≥0f \ge 0 فالتكامل يساوي المساحة تحت المنحنى.
  • ∫ab=−∫ba\int_a^b = -\int_b^a، و∫aa=0\int_a^a = 0.
  • التكامل المحدد خطّيّ، ويمكن تقسيم فترته.
  • عند التعويض في تكامل محدد، غيّر الحدود إلى قيم uu.

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: احسب ∫02(3x2+2) dx\int_0^2 (3x^2 + 2)\,dx.

الحل:

∫02(3x2+2) dx=[ x3+2x ]02=(8+4)−(0+0)=12\int_0^2 (3x^2 + 2)\,dx = \big[\,x^3 + 2x\,\big]_0^2 = (8 + 4) - (0 + 0) = 12

مثال ٢: احسب ∫1e1x dx\int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx.

الحل:

∫1e1x dx=[ ln⁡x ]1e=ln⁡e−ln⁡1=1−0=1\int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx = \big[\,\ln x\,\big]_1^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1

مثال ٣: احسب ∫0π/2cos⁡x dx\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx.

الحل:

∫0π/2cos⁡x dx=[ sin⁡x ]0π/2=sin⁡π2−sin⁡0=1−0=1\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = \big[\,\sin x\,\big]_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1

مثال ٤: احسب ∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx.

الحل:

∫01e2x dx=[ 12e2x ]01=12e2−12e0=12(e2−1)\int_0^1 e^{2x}\,dx = \left[\,\frac{1}{2}e^{2x}\,\right]_0^1 = \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2}(e^2 - 1)

مثال ٥ (تعويض مع تغيير الحدود): احسب ∫012x (x2+1)3 dx\int_0^1 2x\,(x^2 + 1)^3\,dx.

الحل: نضع u=x2+1u = x^2 + 1، فيكون du=2x dxdu = 2x\,dx. وعند x=0x = 0 يكون u=1u = 1، وعند x=1x = 1 يكون u=2u = 2. إذن:

∫012x (x2+1)3 dx=∫12u3 du=[ u44 ]12=164−14=154\int_0^1 2x\,(x^2 + 1)^3\,dx = \int_1^2 u^3\,du = \left[\,\frac{u^4}{4}\,\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

ملاحظات:

  • إذا نزل جزء من المنحنى تحت المحور xx، فالتكامل يحسب المساحة بإشارة سالبة هناك؛ لحساب المساحة الفعلية جزّئ التكامل عند أصفار الدالة.
  • تأكّد من أن الدالة متصلة على فترة التكامل قبل تطبيق النظرية الأساسية.
  • عند تغيير حدود التعويض لا تعُد إلى المتغيّر xx في النهاية.

دروس ذات صلة