الأهداف العامة

• أن يحسب الطالب مساحة منطقة محصورة بين منحنى والمحور $x$.
• أن يحسب مساحة منطقة محصورة بين منحنيين.
• أن يحسب حجم جسم ناتج عن دوران منطقة حول أحد المحاور.

المحتوى الرئيسي

المساحة تحت منحنى

إذا كانت $f(x) \ge 0$ ومتصلة على $[a, b]$، فمساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى والمحور $x$ من $x = a$ إلى $x = b$:

وإذا كان جزء من المنحنى تحت المحور $x$، نأخذ القيمة المطلقة على ذلك الجزء (بتقسيم التكامل عند أصفار الدالة).

المساحة بين منحنيين

إذا كان $f(x) \ge g(x)$ على $[a, b]$، فمساحة المنطقة المحصورة بينهما:

أي تكامل (المنحنى الأعلى ناقص المنحنى الأدنى). نوجد حدَّي التكامل من نقاط تقاطع المنحنيين ($f(x) = g(x)$).

حجم جسم الدوران

عند تدوير المنطقة تحت $y = f(x)$ من $x = a$ إلى $x = b$ دورة كاملة حول المحور $x$، يكون حجم الجسم الناتج:

(مجموع أحجام أقراص رقيقة نصف قطر كلٍّ منها $f(x)$ وسمكه $dx$). وبالمثل عند الدوران حول المحور $y$ لمنطقة بين $x = g(y)$ والمحور من $y = c$ إلى $y = d$ يكون $V = \pi\int_c^d [\,g(y)\,]^2\,dy$.