أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين $y = x^2$ ومحور السينات من $x = 0$ إلى $x = 3$.

الحل: $A = \int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9$ وحدات مربعة.

مثال 2: أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين $y = 4 - x^2$ ومحور السينات.

الحل: أصفار الدالة $x = \pm 2$ والمنحنى فوق المحور بينهما: $A = \int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \dfrac{32}{3}$.

مثال 3 (تغير الإشارة): أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين $y = x^3 - 4x$ ومحور السينات والمستقيمين $x = -2$ و$x = 3$.

الحل: $f(x) = x(x-2)(x+2)$ وأصفارها $-2, 0, 2$. على $[-2, 0]$ تكون $f \ge 0$ فالمساحة $\int_{-2}^{0}f\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{-2}^{0} = 4$. على $[0, 2]$ تكون $f \le 0$ فالمساحة $\left|\left[\dfrac{x^4}{4} - 2x^2\right]_0^2\right| = |-4| = 4$. على $[2, 3]$ تكون $f \ge 0$ فالمساحة $\left(\dfrac{81}{4} - 18\right) - (4 - 8) = \dfrac{25}{4}$. المجموع $4 + 4 + \dfrac{25}{4} = \dfrac{57}{4}$.

مثال 4: أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين $y = x^2 - 4x$ ومحور السينات.

الحل: أصفار الدالة $x = 0$ و$x = 4$ والمنحنى تحت المحور بينهما، فـ $A = \left|\int_0^4(x^2 - 4x)\,dx\right| = \left|\dfrac{64}{3} - 32\right| = \dfrac{32}{3}$.

مثال 5 (تطبيق معماري): يغطى مدخل مبنى على شكل قوس معادلته $y = 9 - x^2$ ($x$ بالأمتار و$-3 \le x \le 3$) فوق الأرض بالزجاج. إذا كانت تكلفة المتر المربع $800$ جنيه فما تكلفة الزجاج؟

الحل: المساحة $\int_{-3}^{3}(9 - x^2)\,dx = \left[9x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-3}^{3} = 36$ م². التكلفة $36 \times 800 = 28800$ جنيه.

مثال 6: أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة تحت $y = \sqrt{x}$ من $x = 0$ إلى $x = 4$ حول محور السينات.

الحل: $V = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi$ وحدة مكعبة.

مثال 7: أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة تحت $y = x$ من $x = 0$ إلى $x = 2$ حول محور السينات.

الحل: $V = \pi\int_0^2 x^2\,dx = \dfrac{8\pi}{3}$ وهو مخروط نصف قطر قاعدته $2$ وارتفاعه $2$.

مثال 8: أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة تحت $y = x^2$ من $x = 0$ إلى $x = 1$ حول محور السينات.

الحل: $V = \pi\int_0^1 x^4\,dx = \dfrac{\pi}{5}$.

مثال 9 (حجم الكرة): أثبت أن حجم كرة نصف قطرها $r$ يساوي $\dfrac{4}{3}\pi r^3$.

الحل: تنشأ الكرة من دوران نصف الدائرة $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ حول محور السينات من $x = -r$ إلى $x = r$: $V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2 - x^2)\,dx = 2\pi\left[r^2x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^r = 2\pi\left(r^3 - \dfrac{r^3}{3}\right) = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.

مثال 10: أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة تحت $y = e^{x}$ من $x = 0$ إلى $x = 1$ حول محور السينات.

الحل: $V = \pi\int_0^1 e^{2x}\,dx = \pi\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 = \dfrac{\pi}{2}\left(e^2 - 1\right)$.