ذاكر مصر

الرياضيات البحتة · الصف الثالث الثانوي

المتجهات في الفراغ

تمثيل المتجه في الفراغ بالمركبات ومتجهات الوحدة، وحساب معياره، وجمع المتجهات وضربها في عدد، ومتجه الوحدة، وشرط التوازي، وجيوب تمام الاتجاه.

المتجهات في الفراغ — الرياضيات البحتة

معلومات الدرس

  • الصف: الثالث الثانوي
  • المادة: الرياضيات البحتة
  • الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
  • الترم: الأول (الترم الأول)
  • رقم الدرس: ٢–٣ (الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد)

الأهداف العامة

  • أن يكتب الطالب متجهًا في الفراغ بصورة المركبات وبدلالة متجهات الوحدة.
  • أن يحسب معيار متجه، ومتجه الوحدة في اتجاهه، ونتيجة جمع متجهات وضربها في عدد.
  • أن يطبّق شرط توازي متجهين، ويحسب جيوب تمام اتجاه متجه.

المحتوى الرئيسي

تمثيل المتجه بالمركبات

المتجه مقدار له طول واتجاه. إذا كانت بداية المتجه A(x1,y1,z1)A(x_1, y_1, z_1) ونهايته B(x2,y2,z2)B(x_2, y_2, z_2) فإن:

AB→=(x2−x1,  y2−y1,  z2−z1)\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1)

ويُكتب المتجه v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = (v_1, v_2, v_3) أيضًا بدلالة متجهات الوحدة i⃗,j⃗,k⃗\vec{i}, \vec{j}, \vec{k} الموازية للمحاور:

v⃗=v1 i⃗+v2 j⃗+v3 k⃗\vec{v} = v_1\,\vec{i} + v_2\,\vec{j} + v_3\,\vec{k}

ويُسمّى OP→=(x,y,z)\overrightarrow{OP} = (x, y, z) متجه موضع النقطة P(x,y,z)P(x, y, z).

المعيار والعمليات

معيار (طول) المتجه:

∣v⃗∣=v12+v22+v32|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}

الجمع والطرح والضرب في عدد تُجرى على المركبات المتناظرة: إذا كان u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = (u_1, u_2, u_3) وv⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = (v_1, v_2, v_3) وcc عدد حقيقي، فإن u⃗±v⃗=(u1±v1,  u2±v2,  u3±v3)\vec{u} \pm \vec{v} = (u_1 \pm v_1,\; u_2 \pm v_2,\; u_3 \pm v_3) وc v⃗=(cv1,  cv2,  cv3)c\,\vec{v} = (c v_1,\; c v_2,\; c v_3).

متجه الوحدة وشرط التوازي

متجه الوحدة في اتجاه v⃗\vec{v} (حيث v⃗≠0⃗\vec{v} \neq \vec{0}) هو:

v^=v⃗∣v⃗∣\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

ومعياره يساوي 11. ويكون المتجهان u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} متوازيين إذا وُجد عدد حقيقي tt يحقّق u⃗=t v⃗\vec{u} = t\,\vec{v}، أي إن مركباتهما متناسبة.

جيوب تمام الاتجاه

إذا صنع v⃗\vec{v} زوايا α,β,γ\alpha, \beta, \gamma مع الاتجاهات الموجبة للمحاور x,y,zx, y, z على الترتيب، فإن:

cos⁡α=v1∣v⃗∣,cos⁡β=v2∣v⃗∣,cos⁡γ=v3∣v⃗∣\cos\alpha = \frac{v_1}{|\vec{v}|}, \qquad \cos\beta = \frac{v_2}{|\vec{v}|}, \qquad \cos\gamma = \frac{v_3}{|\vec{v}|}

وتتحقّق العلاقة cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1، أي إن مركبات متجه الوحدة v^\hat{v} هي نفسها جيوب تمام الاتجاه.

النقاط الرئيسية

  • AB→=B−A\overrightarrow{AB} = B - A (بطرح إحداثيات البداية من النهاية).
  • ∣v⃗∣=v12+v22+v32|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}.
  • العمليات على المتجهات تُجرى مركبةً بمركبة.
  • v^=v⃗∣v⃗∣\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} متجه وحدة في اتجاه v⃗\vec{v}.
  • توازي: u⃗=t v⃗\vec{u} = t\,\vec{v}. وجيوب تمام الاتجاه: مركبات v^\hat{v}، ومجموع مربعاتها 11.

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: إذا كانت A(1,2,0)A(1, 2, 0) وB(4,0,3)B(4, 0, 3)، أوجد AB→\overrightarrow{AB} ومعياره.

الحل: AB→=(4−1,  0−2,  3−0)=(3,−2,3)\overrightarrow{AB} = (4 - 1,\; 0 - 2,\; 3 - 0) = (3, -2, 3)، ومعياره:

∣AB→∣=32+(−2)2+32=9+4+9=22|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}

مثال ٢: أوجد متجه الوحدة في اتجاه v⃗=(2,−1,2)\vec{v} = (2, -1, 2).

الحل: ∣v⃗∣=22+(−1)2+22=4+1+4=9=3|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3. إذن:

v^=13(2,−1,2)=(23,  −13,  23)\hat{v} = \frac{1}{3}(2, -1, 2) = \left(\frac{2}{3},\; -\frac{1}{3},\; \frac{2}{3}\right)

مثال ٣: أوجد قيمة kk التي تجعل u⃗=(3,k,−6)\vec{u} = (3, k, -6) موازيًا لـ v⃗=(−1,2,2)\vec{v} = (-1, 2, 2).

الحل: التوازي يعني u⃗=t v⃗\vec{u} = t\,\vec{v}. من المركبة الأولى 3=−t3 = -t ومنه t=−3t = -3، ومن المركبة الثالثة −6=2t-6 = 2t ومنه t=−3t = -3 (متّسق). إذن من المركبة الثانية k=2t=−6k = 2t = -6.

مثال ٤: أوجد جيوب تمام اتجاه المتجه v⃗=(2,−1,2)\vec{v} = (2, -1, 2).

الحل: ∣v⃗∣=3|\vec{v}| = 3، إذن cos⁡α=23\cos\alpha = \frac{2}{3}، cos⁡β=−13\cos\beta = -\frac{1}{3}، cos⁡γ=23\cos\gamma = \frac{2}{3}. وللتحقّق: (23)2+(−13)2+(23)2=4+1+49=1\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4 + 1 + 4}{9} = 1.

ملاحظات:

  • المتجه الصفري 0⃗=(0,0,0)\vec{0} = (0,0,0) معياره صفر ولا اتجاه له.
  • قسمة متجه على معياره تحافظ على الاتجاه وتجعل الطول 11.
  • إشارات جيوب تمام الاتجاه تدلّ على ميل المتجه نحو الجهة الموجبة أو السالبة لكل محور.

دروس ذات صلة