ملخص الاشتقاق الضمني والبارامتري — ثالثة ثانوي

مقدمة

عرفت كيف تشتق دالة مكتوبة صراحةً مثل $y = x^3 - 5x$ . لكن هناك منحنيات، كالدائرة $x^2 + y^2 = 25$ أو $x^3 + y^3 = 6xy$ ، لا نستطيع فيها كتابة $y$ بدلالة $x$ بسهولة، وأخرى يُعطى فيها كل من $x$ و $y$ بدلالة متغير ثالث. في هذا الدرس تتعلم أن تجد ميل المماس لمثل هذه المنحنيات دون عزل $y$ .

أهداف التعلم

تجد $\dfrac{dy}{dx}$ لعلاقة ضمنية بين $x$ و $y$ باستخدام قاعدة السلسلة.
تجد مشتقة دالة بالنسبة إلى دالة أخرى.
تجد $\dfrac{dy}{dx}$ والمشتقة الثانية لدالة معرّفة بوسيط (بارامتر).
تستخدم المشتقة لإيجاد ميل المماس ومعادلته وتحديد المماسات الأفقية والرأسية.

شرح الدرس

الاشتقاق الضمني

العلاقة الضمنية معادلة تربط $x$ و $y$ دون أن تُعطى $y$ صراحةً، وقد لا تمثل دالة واحدة (فالدائرة $x^2 + y^2 = 9$ تعطي دالتين $y = \pm\sqrt{9 - x^2}$ لكل نصف منها). ولإيجاد $\dfrac{dy}{dx}$ :

اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$ ، معتبرًا $y$ دالة في $x$ ؛ فمشتقة أي تعبير في $y$ تُضرب في $\dfrac{dy}{dx}$ (قاعدة السلسلة)، مثل $\dfrac{d}{dx}(y^3) = 3y^2\dfrac{dy}{dx}$ و $\dfrac{d}{dx}(\sin y) = \cos y\,\dfrac{dy}{dx}$ .
استخدم قاعدة الضرب حين يظهر حاصل ضرب $x$ في $y$ .
اجمع الحدود التي تحوي $\dfrac{dy}{dx}$ في طرف والباقي في الطرف الآخر، ثم أخرج $\dfrac{dy}{dx}$ عاملًا مشتركًا واقسم.

ناتج الاشتقاق الضمني يحوي عادةً $x$ و $y$ معًا. ولإيجاد المشتقة الثانية نشتق الناتج مرة أخرى ضمنيًّا ثم نعوّض عن $\dfrac{dy}{dx}$ .

مشتقة دالة بالنسبة إلى دالة أخرى

إذا كانت $y = f(x)$ و $u = g(x)$ فإن مشتقة $y$ بالنسبة إلى $u$ هي $\dfrac{dy}{du} = \dfrac{dy/dx}{du/dx}$ بشرط $\dfrac{du}{dx} \neq 0$ .

الاشتقاق البارامتري

إذا عُرّف المنحنى بالمعادلتين $x = f(t)$ و $y = g(t)$ (حيث $t$ الوسيط) فإن:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad \frac{dx}{dt} \neq 0

وإذا كان $\dfrac{dx}{dt} = 0$ و $\dfrac{dy}{dt} \neq 0$ فالمماس رأسي، وإذا كان $\dfrac{dy}{dt} = 0$ و $\dfrac{dx}{dt} \neq 0$ فالمماس أفقي. ولإيجاد المشتقة الثانية نشتق $\dfrac{dy}{dx}$ (وهي دالة في $t$ ) بالنسبة إلى $t$ ثم نقسم على $\dfrac{dx}{dt}$ :

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}

وهي لا تساوي $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ .

تعريفات

العلاقة الضمنية: معادلة بين $x$ و $y$ لا تعطي $y$ صراحةً بدلالة $x$ .
الوسيط (البارامتر): متغير ثالث يُعبَّر به عن $x$ و $y$ معًا.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد $\dfrac{dy}{dx}$ إذا كان $x^2 + xy + y^2 = 7$ ، ثم ميل المماس عند $(1, 2)$ .

الحل: $2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$ فـ $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$ . النقطة $(1,2)$ تحقق المعادلة ( $1 + 2 + 4 = 7$ ) والميل $-\dfrac{4}{5}$ .

مثال 2: أوجد $\dfrac{dy}{dx}$ إذا كان $\sin(xy) = x + y$ .

الحل: $\cos(xy)\left(y + x\dfrac{dy}{dx}\right) = 1 + \dfrac{dy}{dx}$ ومنه $\dfrac{dy}{dx}\left[x\cos(xy) - 1\right] = 1 - y\cos(xy)$ فـ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy) - 1}$ .

مثال 3: أوجد معادلة المماس للمنحنى في المثال 2 عند نقطة الأصل.

الحل: النقطة $(0,0)$ تحقق المعادلة. $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - 0}{0 - 1} = -1$ فالمماس $y = -x$ .

مثال 4: أوجد مشتقة $y = x^3 - 4x$ بالنسبة إلى $u = x^2 + 1$ .

الحل: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 4$ و $\dfrac{du}{dx} = 2x$ فـ $\dfrac{dy}{du} = \dfrac{3x^2 - 4}{2x}$ للقيم $x \neq 0$ .

مثال 5: إذا كان $x = 4t - 1$ و $y = 2t^2 + t$ فأوجد $\dfrac{dy}{dx}$ عند $t = 1$ .

الحل: $\dfrac{dx}{dt} = 4$ و $\dfrac{dy}{dt} = 4t + 1$ فـ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4t + 1}{4}$ وعند $t = 1$ تساوي $\dfrac{5}{4}$ .

مثال 6: إذا كان $x = 2\sin\theta$ و $y = 3\cos 2\theta$ فأوجد $\dfrac{dy}{dx}$ عند $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ .

الحل: $\dfrac{dx}{d\theta} = 2\cos\theta$ و $\dfrac{dy}{d\theta} = -6\sin 2\theta = -12\sin\theta\cos\theta$ . فـ $\dfrac{dy}{dx} = -6\sin\theta$ وعند $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ تساوي $-3$ .

مثال 7: عيّن نقاط المماس الأفقي والرأسي للمنحنى $x = t^2 - 4t$ و $y = t^3 - 3t$ .

الحل: $\dfrac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 = 0$ عند $t = \pm 1$ (و $\dfrac{dx}{dt} = 2t - 4 \neq 0$ ) فالمماس أفقي عند $(-3, -2)$ و $(5, 2)$ . و $\dfrac{dx}{dt} = 0$ عند $t = 2$ (و $\dfrac{dy}{dt} = 9 \neq 0$ ) فالمماس رأسي عند $(-4, 2)$ .

مثال 8 (مشتقة ثانية ضمنيًّا): أثبت أنه إذا كان $x^2 + y^2 = 25$ فإن $\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{25}{y^3}$ .

الحل: $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ ثم $\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{y - x\,\dfrac{dy}{dx}}{y^2} = -\dfrac{y + \dfrac{x^2}{y}}{y^2} = -\dfrac{y^2 + x^2}{y^3} = -\dfrac{25}{y^3}$ .

مثال 9 (مشتقة ثانية بارامتريًّا): أوجد $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ إذا كان $x = t^2 + 1$ و $y = t^3 - 3t$ .

الحل: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t^2 - 3}{2t} = \dfrac{3}{2}\left(t - \dfrac{1}{t}\right)$ . نشتق بالنسبة إلى $t$ : $\dfrac{3}{2}\left(1 + \dfrac{1}{t^2}\right)$ ثم نقسم على $2t$ : $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{3(t^2 + 1)}{4t^3}$ للقيم $t \neq 0$ .

ملاحظات مهمة

لا تنس ضرب مشتقة أي تعبير في $y$ في $\dfrac{dy}{dx}$ .
تأكد أن النقطة تحقق المعادلة الأصلية قبل التعويض بها في المشتقة.
في الصيغة البارامترية لا تقسم المشتقتين الثانيتين $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ و $\dfrac{d^2x}{dt^2}$ .
حين يكون المقام $\dfrac{dx}{dt}$ صفرًا افحص الحالة على حدة (قد يكون المماس رأسيًّا).

المفاهيم الأساسية

في الاشتقاق الضمني يُشتق الطرفان بالنسبة إلى $x$ وتُضرب مشتقة تعبير $y$ في $\dfrac{dy}{dx}$ .
$\dfrac{dy}{du} = \dfrac{dy/dx}{du/dx}$ لمشتقة دالة بالنسبة إلى دالة أخرى.
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ بارامتريًّا.
$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$ .

ملخص الدرس

نشتق العلاقة الضمنية بتطبيق قاعدة السلسلة على كل حد يحوي $y$ ثم نعزل $\dfrac{dy}{dx}$ . وعندما يُعطى المنحنى بوسيط نقسم $\dfrac{dy}{dt}$ على $\dfrac{dx}{dt}$ ، ونحصل على المشتقة الثانية باشتقاق الناتج بالنسبة إلى الوسيط ثم القسمة على $\dfrac{dx}{dt}$ . وبهذا نجد ميل المماس ومعادلته ونقاط المماس الأفقي والرأسي.

أسئلة للتدريب

أوجد $\dfrac{dy}{dx}$ إذا كان $x^3 + 2xy^2 = 10$ .
أوجد $\dfrac{dy}{dx}$ إذا كان $y\cos x + \sin y = 1$ .
أوجد مشتقة $y = \sin x$ بالنسبة إلى $u = \cos x$ .
إذا كان $x = 3t^2$ و $y = t^3 - 6t$ فأوجد $\dfrac{dy}{dx}$ عند $t = 2$ .
أوجد قيم الوسيط $t$ التي يكون عندها المماس أفقيًّا للمنحنى $x = t^2$ و $y = t^3 - 12t$ .