ملخص مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية — ثالثة ثانوي

مقدمة

تنمو الأعداد في الطبيعة أحيانًا بسرعة تتناسب مع حجمها الحالي، كما في النمو السكاني أو تراكم الفائدة المركبة، وتصفها الدوال الأسية. ولكي نستخدم هذه الدوال في الاشتقاق نتعرف على العدد $e$ والدالة الأسية الطبيعية ودالتها العكسية $\ln x$ ، ثم نجد قواعد اشتقاقهما.

أهداف التعلم

تتعرف على العدد $e$ والدالة الأسية الطبيعية ودالة اللوغاريتم الطبيعي وخواصهما.
تجد مشتقة $e^x$ و $a^x$ و $\ln x$ و $\log_a x$ مع قاعدة السلسلة.
تستخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لاشتقاق دوال مثل $[f(x)]^{g(x)}$ .
توظف المشتقة في تطبيقات هندسية وفي إثبات علاقات بين الدالة ومشتقاتها.

شرح الدرس

العدد e والدالة الأسية الطبيعية

العدد $e$ عدد غير نسبي قيمته التقريبية $2.71828$ ، ويُعرَّف بالمجموع $e = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \cdots$ . الدالة الأسية الطبيعية $f(x) = e^x$ مجالها $\mathbb{R}$ ومداها $(0, \infty)$ ، ومنحناها يقطع محور $y$ عند $(0,1)$ ويمر بالنقطة $(1, e)$ ، وهي دالة متزايدة وأحادية.

دالة اللوغاريتم الطبيعي

$\ln x = \log_e x$ للقيم $x > 0$ ، وهي الدالة العكسية للدالة $e^x$ ، فمجالها $(0, \infty)$ ومداها $\mathbb{R}$ ومنحناها يمر بالنقطتين $(1, 0)$ و $(e, 1)$ . ولها خواص اللوغاريتمات المعروفة: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ و $\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$ و $\ln a^n = n\ln a$ و $\ln e = 1$ و $\ln 1 = 0$ و $e^{\ln x} = x$ .

منحنيا y يساوي e أس x وy يساوي لوغاريتم x الطبيعي متناظران حول المستقيم y يساوي x، ويمران بالنقطتين (0,1) و(1,0)

قواعد الاشتقاق

إذا كانت $u = u(x)$ دالة قابلة للاشتقاق فإن:

\frac{d}{dx}e^{u} = e^{u}\,u', \qquad \frac{d}{dx}a^{u} = a^{u}\ln a\cdot u'

\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}, \qquad \frac{d}{dx}\log_a u = \frac{u'}{u\ln a}

وحالتها الخاصة $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$ و $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$ لـ $x > 0$ ، وأيضًا $\dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x}$ لكل $x \neq 0$ (مع $a > 0$ و $a \neq 1$ في قواعد الأساس $a$ ). ونحصل على مشتقة $\ln x$ من اشتقاق العلاقة $x = e^y$ ضمنيًّا.

الاشتقاق اللوغاريتمي

إذا كان الأساس والأس معًا متغيرين، مثل $y = [f(x)]^{g(x)}$ ، نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين:

\ln y = g(x)\ln f(x)

ثم نشتق ضمنيًّا: $\dfrac{y'}{y} = g'(x)\ln f(x) + g(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ ونضرب في $y$ . ويفيد الأسلوب نفسه في اشتقاق حواصل ضرب أو قسمة تحوي عوامل كثيرة.

تعريفات

الدالة الأسية الطبيعية: $f(x) = e^x$ حيث $e \approx 2.718$ .
اللوغاريتم الطبيعي: لوغاريتم الأساس $e$ ويُرمز له $\ln$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد مشتقة $y = e^{x^2 - 3x}$ ومشتقة $y = (x+1)e^{-x}$ .

الحل: $y' = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$ . وللثانية بقاعدة الضرب: $y' = e^{-x} - (x+1)e^{-x} = -x\,e^{-x}$ .

مثال 2: أوجد مشتقة $y = e^{\sin x}$ .

الحل: $u = \sin x$ و $u' = \cos x$ فـ $y' = \cos x\;e^{\sin x}$ .

مثال 3: أوجد مشتقة $y = 4^{3x}$ .

الحل: $y' = 4^{3x}\ln 4\cdot 3 = 3\ln 4\cdot 4^{3x}$ .

مثال 4: أوجد مشتقة $y = \ln(3x + 1)$ وميل المماس عند $x = 1$ ، ومشتقة $y = \ln|2x - 5|$ .

الحل: $y' = \dfrac{3}{3x+1}$ والميل عند $x = 1$ يساوي $\dfrac{3}{4}$ . ومشتقة $\ln|2x - 5|$ هي $\dfrac{2}{2x - 5}$ للقيم $x \neq \dfrac{5}{2}$ .

مثال 5: أوجد مشتقة $y = x^2\ln x$ ومشتقة $y = \log_3(x^2 + 1)$ .

الحل: $y' = 2x\ln x + x^2\cdot\dfrac{1}{x} = 2x\ln x + x$ . ومشتقة الثانية $\dfrac{2x}{(x^2+1)\ln 3}$ .

مثال 6: أوجد مشتقة $y = (x + 2)^x$ لـ $x > -2$ .

الحل: $\ln y = x\ln(x+2)$ فـ $\dfrac{y'}{y} = \ln(x+2) + \dfrac{x}{x+2}$ ومنها $y' = (x+2)^x\left[\ln(x+2) + \dfrac{x}{x+2}\right]$ .

مثال 7: أوجد مشتقة $y = \ln\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)$ .

الحل: $y' = \dfrac{1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2+1}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ .

مثال 8 (تطبيق هندسي): أوجد معادلة المماس للمنحنى $y = e^{2x}$ عند النقطة التي إحداثيها السيني $0$ .

الحل: النقطة $(0, 1)$ و $y' = 2e^{2x}$ فالميل $2$ والمماس $y = 2x + 1$ .

مثال 9 (تحقيق علاقة): إذا كان $y = x\,e^{-x}$ فأثبت أن $x\,y' = (1 - x)\,y$ .

الحل: $y' = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}$ فـ $x\,y' = (1 - x)\,xe^{-x} = (1-x)\,y$ .

ملاحظات مهمة

ميّز بين $a^x$ (أساس ثابت، مشتقتها $a^x\ln a$ ) و $x^a$ (أس ثابت، مشتقتها $ax^{a-1}$ ).
$\ln x$ معرّفة لـ $x > 0$ فقط، ولا تنسَ ضرب الناتج في $u'$ عند تطبيق قاعدة السلسلة.
بسّط الدالة اللوغاريتمية بخواص اللوغاريتمات قبل الاشتقاق متى أمكن.
ابدأ الاشتقاق اللوغاريتمي بالتأكد من أن $y > 0$ أو استخدم القيمة المطلقة.

المفاهيم الأساسية

$\dfrac{d}{dx}e^u = e^u u'$ و $\dfrac{d}{dx}a^u = a^u\ln a\cdot u'$ .
$\dfrac{d}{dx}\ln u = \dfrac{u'}{u}$ و $\dfrac{d}{dx}\log_a u = \dfrac{u'}{u\ln a}$ .
الاشتقاق اللوغاريتمي: خذ $\ln$ للطرفين ثم اشتق ضمنيًّا.
$e^x$ و $\ln x$ دالتان متعاكستان.

ملخص الدرس

الدالة $e^x$ تساوي مشتقتها، ومشتقة $\ln x$ هي $\dfrac1x$ ، ومع قاعدة السلسلة نضرب في مشتقة الدالة الداخلية. ونستخدم الاشتقاق اللوغاريتمي حين يكون الأساس والأس متغيرين، ونستفيد من المشتقة في المماس وإثبات العلاقات.

أسئلة للتدريب

أوجد مشتقة $y = x^3 e^{2x}$ .
أوجد مشتقة $y = \ln(\cos 2x)$ و $y = \log_2(5x - 1)$ .
أوجد مشتقة $y = (\sin x)^x$ لـ $0 < x < \pi$ .
أوجد معادلة المماس للمنحنى $y = \ln x$ عند النقطة $(e, 1)$ .
إذا كان $y = e^{x}\sin x$ فأثبت أن $y'' - 2y' + 2y = 0$ .