أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد القيم القصوى المحلية للدالة $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.

الحل: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$ والنقطتان الحرجتان $x = 1$ و$x = 3$. إشارة $f'$: $+$ ثم $-$ ثم $+$. فعند $x = 1$ قيمة عظمى محلية $f(1) = 6$، وعند $x = 3$ قيمة صغرى محلية $f(3) = 2$.

مثال 2 (دالة كسرية): أوجد القيم القصوى المحلية للدالة $f(x) = x + \dfrac{9}{x}$.

الحل: المجال $\mathbb{R} - \{0\}$ و$f'(x) = 1 - \dfrac{9}{x^2} = \dfrac{x^2 - 9}{x^2}$ تنعدم عند $x = \pm 3$ ولا تنعدم $x$ في المجال. الإشارة: $+$ قبل $-3$ ثم $-$ على $]-3, 0[$ و$]0, 3[$ ثم $+$ بعد $3$. فعند $x = -3$ قيمة عظمى محلية $f(-3) = -6$، وعند $x = 3$ قيمة صغرى محلية $f(3) = 6$. لاحظ أن القيمة العظمى المحلية أصغر من الصغرى المحلية هنا.

مثال 3 (مشتقة غير موجودة): أوجد القيم القصوى المحلية للدالة $f(x) = x^{4/3} + 4x^{1/3}$.

الحل: $f'(x) = \dfrac{4}{3}x^{-2/3}(x + 1)$. تنعدم عند $x = -1$ وغير موجودة عند $x = 0$ (وهي في المجال $\mathbb{R}$). عندما $x < -1$ تكون $f' < 0$، وعندما $-1 < x < 0$ و$x > 0$ تكون $f' > 0$. فعند $x = -1$ قيمة صغرى محلية $f(-1) = -3$، أما عند $x = 0$ فلا تتغير الإشارة فليست قيمة قصوى رغم أنها نقطة حرجة.

مثال 4: أوجد القيم القصوى المحلية للدالة $f(x) = |x - 2|$.

الحل: لـ $x > 2$ يكون $f'(x) = 1$ ولـ $x < 2$ يكون $f'(x) = -1$ و$f'(2)$ غير موجودة. الإشارة من $-$ إلى $+$ فعند $x = 2$ قيمة صغرى محلية $f(2) = 0$.

مثال 5 (قيم قصوى مطلقة): أوجد القيمتين العظمى والصغرى المطلقتين للدالة $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ على $[-2, 3]$.

الحل: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1)$ والنقطتان الحرجتان $x = -1$ و$x = 2$ داخل الفترة. $f(-2) = 1$ و$f(-1) = 12$ و$f(2) = -15$ و$f(3) = -4$. فالقيمة العظمى المطلقة $12$ عند $x = -1$ والصغرى المطلقة $-15$ عند $x = 2$.

مثال 6: أوجد القيمتين العظمى والصغرى المطلقتين للدالة $f(x) = x\,e^{-x}$ على $[0, 3]$.

الحل: $f'(x) = e^{-x}(1 - x)$ فالنقطة الحرجة $x = 1$. $f(0) = 0$ و$f(1) = \dfrac{1}{e}$ و$f(3) = 3e^{-3} \approx 0.15$. فالعظمى المطلقة $\dfrac{1}{e} \approx 0.37$ عند $x = 1$ والصغرى المطلقة $0$ عند $x = 0$.

مثال 7: أوجد القيمتين العظمى والصغرى المطلقتين للدالة $f(x) = \sin x + \cos x$ على $[0, \pi]$.

الحل: $f'(x) = \cos x - \sin x = 0$ عند $x = \dfrac{\pi}{4}$ داخل الفترة. $f(0) = 1$ و$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$ و$f(\pi) = -1$. فالعظمى المطلقة $\sqrt{2}$ والصغرى المطلقة $-1$ عند $x = \pi$.

مثال 8: إذا كان للدالة $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ قيمة عظمى محلية عند $x = -1$ وقيمة صغرى محلية عند $x = 3$ فأوجد $a$ و$b$.

الحل: $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ جذراها $-1$ و$3$، فمجموعهما $2 = -\dfrac{2a}{3}$ فـ $a = -3$، وحاصل ضربهما $-3 = \dfrac{b}{3}$ فـ $b = -9$. ويتحقق أن $f'(x) = 3(x+1)(x-3)$ تغير إشارتها من $+$ إلى $-$ عند $-1$ ومن $-$ إلى $+$ عند $3$.