ملخص إيجاد الحد المشتمل على س^ك من مفكوك ذات الحدين — ثالثة ثانوي

مقدمة

في مفكوك مثل $\left(x^2 + \frac{3}{x}\right)^{11}$ تظهر عشرات القوى المختلفة لـ $x$ . فهل يمكنك إيجاد معامل $x^{5}$ فقط دون كتابة المفكوك كله؟ الفكرة أن تكتب الحد العام مرةً واحدة، وتجمع قوى $x$ فيه، ثم تجعل مجموعها مساويًا القوة التي تبحث عنها. هذه المهارة أساسية في الجبر والاحتمالات.

أهداف التعلم

تستخدم الحد العام لإيجاد الحد المشتمل على قوة معيّنة $x^k$ ومعامله.
تعيّن الحد الخالي من $x$ (الحد المطلق) في مفكوك ذات الحدين.
تحكم هل يوجد حد يحتوي القوة المطلوبة أم لا، بفحص قيمة $r$ .
تتعامل مع مسائل يكون فيها الأس $n$ مجهولًا ومطلوبًا ضمن شرط على وجود الحد.

شرح الدرس

الفكرة: قوى $x$ بدلالة $r$

في مفكوك $(a+b)^n$ الحد العام هو $T_{r+1} = \binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ . حين يحتوي $a$ أو $b$ على $x$ فإن قوى $x$ تجتمع في حد واحد، ومجموعها يعتمد على $r$ . نحتاج في هذا الدرس قوانين الأسس: $x^m\cdot x^\ell = x^{m+\ell}$ و $(x^m)^\ell = x^{m\ell}$ و $\frac{1}{x^\ell} = x^{-\ell}$ .

خطوات إيجاد الحد المشتمل على $x^k$

اكتب الحد العام $T_{r+1}$ للمفكوك.
بسّط المعاملات واجمع قوى $x$ فتحصل على $x^{\text{عبارة في } r}$ .
ساوِ تلك العبارة بالقيمة $k$ وحُلّ المعادلة لإيجاد $r$ .
تحقّق أن $r$ عدد صحيح وأن $0 \le r \le n$ .
إن تحقّق الشرط فالحد المطلوب هو $T_{r+1}$ ومعامله يُحسب من الحد العام، وإن لم يتحقق فلا يوجد حد يشتمل على $x^k$ .

الحد الخالي من $x$

هو الحالة الخاصة $k = 0$ : نجعل مجموع قوى $x$ في الحد العام يساوي صفرًا.

حالات عدم وجود الحد

إذا ظهرت $r$ كسرية، أو سالبة، أو أكبر من $n$ ، فلا يوجد في المفكوك حد يشتمل على القوة المطلوبة. مثال: في $\left(x + \frac{1}{x}\right)^{5}$ قوة $x$ في الحد العام $5 - 2r$ ، والحد الخالي من $x$ يتطلب $r = 2.5$ وهو غير ممكن، فلا يوجد حد خالٍ من $x$ .

أكبر قوة لـ $x$ ومعاملها

أكبر قوة لـ $x$ تظهر عندما تأخذ $r$ أحد طرفيها $0$ أو $n$ ، وتحدّد أيهما أكبر من إشارة معامل $r$ في عبارة قوى $x$ . ويكون معاملها حاصل ضرب المعاملين العدديين للحدّين مرفوعين لقوتيهما.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد الحد المشتمل على $x^9$ في مفكوك $\left(x^2 + \dfrac{3}{x}\right)^{6}$ .

الحل:

T_{r+1} = \binom{6}{r}(x^2)^{6-r}\left(\frac{3}{x}\right)^r = \binom{6}{r}3^r x^{12-3r}

نضع $12 - 3r = 9$ فنجد $r = 1$ وهي مقبولة، والحد $T_2 = 6 \times 3\, x^9 = 18x^9$ .

مثال 2: أوجد الحد الخالي من $x$ في مفكوك $\left(x - \dfrac{2}{x^2}\right)^{9}$ .

الحل: $T_{r+1} = \binom{9}{r}(-2)^r x^{9-3r}$ ، ونضع $9 - 3r = 0$ فنجد $r = 3$ :

T_4 = \binom{9}{3}(-2)^3 = 84 \times (-8) = -672

مثال 3: أوجد معامل $x^{3}$ في مفكوك $\left(3x - \dfrac{1}{x^2}\right)^{9}$ .

الحل: $T_{r+1} = \binom{9}{r}(3x)^{9-r}\left(-\frac{1}{x^2}\right)^r = \binom{9}{r}3^{9-r}(-1)^r x^{9-3r}$ . نضع $9 - 3r = 3$ فنجد $r = 2$ ، والمعامل $\binom{9}{2}3^{7} = 36 \times 2187 = 78732$ .

مثال 4: هل يوجد في مفكوك $\left(x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^{10}$ حد يشتمل على $x^{4}$ ؟

الحل: $T_{r+1} = \binom{10}{r}x^{20-3r}$ ، ونضع $20 - 3r = 4$ فنجد $r = \frac{16}{3}$ وهي غير صحيحة، إذن لا يوجد هذا الحد ومعامله صفر.

مثال 5 (أس مجهول): إذا كان في مفكوك $\left(x^3 + \dfrac{1}{x^2}\right)^{n}$ حد خالٍ من $x$ فأثبت أن $n$ من مضاعفات $5$ ، ثم أوجد هذا الحد عندما $n = 10$ .

الحل: $T_{r+1} = \binom{n}{r}x^{3(n-r)-2r} = \binom{n}{r}x^{3n-5r}$ . الحد الخالي يتطلب $3n - 5r = 0$ أي $r = \frac{3n}{5}$ ، ولكي تكون $r$ صحيحة يلزم أن يقبل $3n$ القسمة على $5$ ، أي $n$ من مضاعفات $5$ . عند $n = 10$ تكون $r = 6$ ، والحد $T_7 = \binom{10}{6} = 210$ .

مثال 6 (شرط على معاملين): في مفكوك $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{8}$ أوجد معامل $x^4$ ثم قارنه بمعامل الحد الأوسط.

الحل: $T_{r+1} = \binom{8}{r}x^{8-2r}$ ونضع $8 - 2r = 4$ فنجد $r = 2$ ومعامله $28$ . أما الحد الأوسط فرتبته $5$ ومعامله $\binom{8}{4} = 70$ ، فهو أكبر.

ملاحظات مهمة

«الحد المشتمل على $x^k$ » عبارة كاملة تحوي $x^k$ ، أما «معامل $x^k$ » فهو العدد المضروب في $x^k$ فقط.
لا تنس الإشارة السالبة وقوة المعامل العددي عند رفع الحد الثاني للأس $r$ .
إذا طُلب معامل $x^3$ ومعامل $x^{-3}$ فكل منهما يقابل قيمة مستقلة لـ $r$ .

المفاهيم الأساسية

قوة $x$ في الحد العام تُكتب بدلالة $r$ ثم تُساوى بـ $k$ .
الحد الخالي من $x$ هو حالة $k = 0$ .
يوجد الحد فقط إذا كانت $r$ صحيحة وفي المدى $0 \le r \le n$ .
عند أس مجهول نحوّل شرط وجود الحد إلى شرط قابلية القسمة على $r$ .

ملخص الدرس

نكتب الحد العام ونجمع قوى $x$ فيه بدلالة $r$ ، ثم نحلّ معادلة القوة المطلوبة. تعطينا قيمة $r$ الجواب الكامل: إن كانت صحيحة ضمن $[0, n]$ وُجد الحد وحسبنا معامله، وإلا فلا يوجد حد بتلك القوة. ويُستعمل الأسلوب نفسه للحد الخالي من $x$ ولمسائل الأس المجهول.

أسئلة للتدريب

أوجد معامل $x^{8}$ في مفكوك $\left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{3}{x}\right)^{12}$ .
أوجد الحد الخالي من $x$ في مفكوك $\left(x^2 - \dfrac{1}{x}\right)^{12}$ .
هل يحتوي مفكوك $\left(x^3 + \dfrac{1}{x}\right)^{9}$ على حد خالٍ من $x$ ؟ علّل.
أوجد قيمة $n$ التي تجعل في مفكوك $\left(x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^{n}$ حدًّا خاليًا من $x$ عندما $n=6$ ، ثم احسب هذا الحد، وبيّن لأي قيم $n$ يوجد حد خالٍ من $x$ .