ملخص تكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية — ثالثة ثانوي

مقدمة

تعلمت أن الاشتقاق يعطينا ميل المنحنى. فماذا لو عرفنا الميل وأردنا الدالة نفسها؟ أو عرفنا معدل تغير كمية وأردنا الكمية؟ هنا نحتاج عملية عكسية للاشتقاق تسمى التكامل. وفي هذا الدرس نطبقها على الدوال الأسية واللوغاريتمية التي درست مشتقاتها.

أهداف التعلم

تتعرف على المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد وثابت التكامل.
تجد تكامل $e^{x}$ و $e^{ax}$ و $a^{x}$ و $\dfrac{1}{x}$ .
تجد تكامل كسر بسطه مشتقة مقامه وتكامل $f'(x)e^{f(x)}$ بالتعويض.
تستخدم التكامل غير المحدد في مسائل هندسية وفيزيائية.

شرح الدرس

المشتقة العكسية

إذا كانت $F'(x) = f(x)$ فإن $F$ مشتقة عكسية للدالة $f$ . وللدالة $f$ عدد لا نهائي من المشتقات العكسية تختلف بثابت، ونرمز لمجموعتها بالتكامل غير المحدد:

\int f(x)\,dx = F(x) + c

حيث $c$ ثابت اختياري. وللتكامل خاصية الخطية: $\int\left[f(x) \pm g(x)\right]dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$ و $\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ .

تكامل الدوال الأسية

\int e^{x}\,dx = e^{x} + c, \qquad \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + c \;\; (a \neq 0), \qquad \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + c

(في الأخيرة $a > 0$ و $a \neq 1$ ). وبوجه عام إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق فإن $\int f'(x)\,e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + c$ .

تكامل يعطي اللوغاريتم

قاعدة القوة لا تصلح عند الأس $-1$ ، فنستخدم:

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + c \;\; (x \neq 0), \qquad \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + c \;\; (f(x) \neq 0)

المساحة تحت المنحنى y يساوي 1 على x من x يساوي 1 إلى x يساوي e تساوي لوغاريتم e الطبيعي أي 1

ولهذا فإن $\ln|x|$ إحدى المشتقات العكسية للدالة $\dfrac1x$ على المجال $x \neq 0$ كله. وإذا لم يكن البسط مساويًا تمامًا لمشتقة المقام فنضبطه بالضرب والقسمة على ثابت. وإذا كان البسط أكبر درجة من المقام أو كان الكسر مجموع حدود فنفكّه أو نقسم قبل التكامل.

التعويض

عند تكامل $e^{u(x)}\,u'(x)$ نضع $u = u(x)$ فيكون $du = u'(x)\,dx$ ويؤول التكامل إلى $\int e^{u}\,du$ . ونفعل ذلك مع $\int \dfrac{u'}{u}\,dx$ .

تعريفات

المشتقة العكسية: دالة $F$ تحقق $F'(x) = f(x)$ .
التكامل غير المحدد: مجموعة كل المشتقات العكسية $F(x) + c$ .
ثابت التكامل: الثابت الاختياري $c$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: احسب $\int e^{3x}\,dx$ .

الحل: $\dfrac{1}{3}e^{3x} + c$ . (التحقق: مشتقته $e^{3x}$ .)

مثال 2: احسب $\int \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,dx$ .

الحل: بسط الكسر مشتقة المقام فالناتج $\ln(x^2 + 1) + c$ (بلا قيمة مطلقة لأن $x^2 + 1 > 0$ ).

مثال 3: احسب $\int 5^{x}\,dx$ .

الحل: $\dfrac{5^{x}}{\ln 5} + c$ .

مثال 4: احسب $\int x\,e^{x^2}\,dx$ .

الحل: نضع $u = x^2$ فـ $du = 2x\,dx$ أي $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$ . الناتج $\dfrac{1}{2}e^{u} + c = \dfrac{1}{2}e^{x^2} + c$ .

مثال 5: احسب $\int \dfrac{3x^2}{x^3 + 1}\,dx$ .

الحل: $\ln|x^3 + 1| + c$ .

مثال 6: احسب $\int \dfrac{1}{2x + 3}\,dx$ .

الحل: مشتقة المقام $2$ فنضبط: $\dfrac{1}{2}\int \dfrac{2}{2x + 3}\,dx = \dfrac{1}{2}\ln|2x + 3| + c$ .

مثال 7: احسب $\int \dfrac{e^{x}}{1 + e^{x}}\,dx$ .

الحل: البسط مشتقة المقام فالناتج $\ln(1 + e^{x}) + c$ .

مثال 8: احسب $\int \dfrac{\ln x}{x}\,dx$ .

الحل: نضع $u = \ln x$ فـ $du = \dfrac{1}{x}dx$ والتكامل $\int u\,du = \dfrac{(\ln x)^2}{2} + c$ .

مثال 9: احسب $\int \tan x\,dx$ .

الحل: $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ وبسطه سالب مشتقة المقام فالناتج $-\ln|\cos x| + c$ .

مثال 10 (فك قبل التكامل): احسب $\int \dfrac{x^3 - 4x + 2}{x}\,dx$ و $\int \left(e^{x} + e^{-x}\right)^2 dx$ .

الحل: الأول $\int\left(x^2 - 4 + \dfrac{2}{x}\right)dx = \dfrac{x^3}{3} - 4x + 2\ln|x| + c$ . والثاني $\int\left(e^{2x} + 2 + e^{-2x}\right)dx = \dfrac{1}{2}e^{2x} + 2x - \dfrac{1}{2}e^{-2x} + c$ .

مثال 11: احسب $\int \cos x\;e^{\sin x}\,dx$ و $\int \dfrac{1}{x\ln x}\,dx$ .

الحل: الأول $f(x) = \sin x$ و $f'(x) = \cos x$ فالناتج $e^{\sin x} + c$ . والثاني نضع $u = \ln x$ فـ $du = \dfrac{1}{x}dx$ والناتج $\ln|\ln x| + c$ .

مثال 12 (تطبيق هندسي): ميل المماس لمنحنى عند أي نقطة عليه يساوي $3 + \dfrac{2}{x}$ ( $x > 0$ ). أوجد معادلة المنحنى إذا كان يمر بالنقطة $(1, 5)$ .

الحل: $y = \int\left(3 + \dfrac{2}{x}\right)dx = 3x + 2\ln x + c$ . بالتعويض $5 = 3 + 0 + c$ فـ $c = 2$ والمعادلة $y = 3x + 2\ln x + 2$ .

مثال 13 (تطبيق فيزيائي): معدل تغير مساحة صفيحة بالسم² لكل ثانية هو $\dfrac{dA}{dt} = 3e^{0.5t}$ وكانت مساحتها $10$ سم² عند $t = 0$ . أوجد مساحتها عند $t = 2$ .

الحل: $A = \int 3e^{0.5t}\,dt = 6e^{0.5t} + c$ و $A(0) = 10$ فـ $c = 4$ . فـ $A(2) = 6e + 4 \approx 20.3$ سم².

ملاحظات مهمة

لا تنسَ العامل $\dfrac{1}{a}$ عند تكامل $e^{ax}$ .
اكتب $\ln|x|$ وليس $\ln x$ ما لم يكن المجال $x > 0$ .
اضبط الثابت بالضرب والقسمة إذا لم يطابق البسط مشتقة المقام.
تحقق من أي ناتج بالاشتقاق، ولا تنس ثابت التكامل في التكامل غير المحدد.

المفاهيم الأساسية

$\int e^{ax}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{ax} + c$ و $\int a^{x}\,dx = \dfrac{a^{x}}{\ln a} + c$ .
$\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + c$ و $\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + c$ .
$\int f'(x)e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + c$ .

ملخص الدرس

التكامل غير المحدد عملية عكسية للاشتقاق تعطي مجموعة المشتقات العكسية $F(x) + c$ . نكامل الدوال الأسية بقواعدها، ونكامل $\dfrac{1}{x}$ والكسور التي بسطها مشتقة مقامها باللوغاريتم، ونستخدم التعويض مع الدوال المركبة، ونوظف ذلك في إيجاد منحنى معلوم ميله أو كمية معلوم معدل تغيرها.

أسئلة للتدريب

احسب $\int \left(4e^{2x} - \dfrac{3}{x}\right)dx$ .
احسب $\int \dfrac{6x^2}{2x^3 - 1}\,dx$ .
احسب $\int x^2 e^{x^3}\,dx$ .
احسب $\int \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\,dx$ .
ميل مماس منحنى عند أي نقطة $(x, y)$ عليه يساوي $e^{2x} + 1$ ويمر بالنقطة $(0, 2)$ . أوجد معادلته.