تكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية

معلومات الدرس

الصف: الثالث الثانوي
المادة: الرياضيات البحتة
الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
الترم: الأول (الترم الأول)
رقم الدرس: ١–٣ (قسم التفاضل والتكامل — الوحدة الثالثة: التكامل المحدد وتطبيقاته)

الأهداف العامة

أن يوجد الطالب تكامل الدوال الأسية $e^x$ و $e^{ax}$ و $a^x$ .
أن يوجد تكامل $\frac{1}{x}$ وتكامل الكسر الذي بسطه مشتقة مقامه.
أن يستخدم التعويض في تكامل دوال أسية ولوغاريتمية مركّبة.

المحتوى الرئيسي

تكامل الدوال الأسية

\int e^x\,dx = e^x + c, \qquad \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}\,e^{ax} + c

\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + c \quad (a > 0,\ a \neq 1)

كلّ قاعدة هي عكس قاعدة اشتقاق مقابلة؛ فمثلًا مشتقة $\frac{1}{a}e^{ax}$ هي $e^{ax}$ .

تكامل يعطي اللوغاريتم

قاعدة القوة في التكامل تفشل عند الأُس $-1$ ، وتسدّ هذه الثغرة القاعدة:

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + c

وبتعميمها، إذا كان بسط الكسر يساوي مشتقة مقامه:

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + c

التعويض في الدوال المركّبة

عند تكامل $e^{u(x)}\,u'(x)$ نضع $u = u(x)$ فيكون $du = u'(x)\,dx$ ، ويؤول التكامل إلى $\int e^u\,du = e^u + c$ . الفكرة نفسها تنطبق على $\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx$ .

النقاط الرئيسية

$\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + c$ .
$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + c$ .
$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + c$ (قيمة مطلقة لأن المجال قد يشمل السالب).
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + c$ .
تحقّق من أيّ ناتج تكامل باشتقاقه.

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: احسب $\int e^{3x}\,dx$ .

الحل: $\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + c$ . (تحقّق: مشتقة $\frac{1}{3}e^{3x}$ هي $e^{3x}$ .)

مثال ٢: احسب $\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx$ .

الحل: بسط الكسر $2x$ هو مشتقة المقام $x^2 + 1$ ، إذن:

\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + c

(حُذفت القيمة المطلقة لأن $x^2 + 1 > 0$ دائمًا.)

مثال ٣: احسب $\int 5^x\,dx$ .

الحل: $\int 5^x\,dx = \frac{5^x}{\ln 5} + c$ .

مثال ٤: احسب $\int x\,e^{x^2}\,dx$ .

الحل: نضع $u = x^2$ ، فيكون $du = 2x\,dx$ ، أي $x\,dx = \frac{1}{2}\,du$ . إذن:

\int x\,e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + c = \frac{1}{2}e^{x^2} + c

مثال ٥: احسب $\int \frac{3x^2}{x^3 + 1}\,dx$ .

الحل: البسط $3x^2$ مشتقة المقام $x^3 + 1$ ، إذن التكامل $= \ln|x^3 + 1| + c$ .

ملاحظات:

لا تنسَ عامل $\frac{1}{a}$ عند تكامل $e^{ax}$ ؛ نسيانه خطأ شائع.
في $\int \frac{1}{x}\,dx$ اكتب $\ln|x|$ وليس $\ln x$ ما لم يُقيَّد المجال بالموجب.
إذا لم يكن البسط مساويًا تمامًا لمشتقة المقام، فاضبطه بضرب وقسمة على ثابت مناسب.

تكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية — الرياضيات البحتة