نظرية ديموافر — ذاكر مصر

معلومات الدرس

الصف: الثالث الثانوي
المادة: الرياضيات البحتة
الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
الترم: الأول (الترم الأول)
رقم الدرس: ٢–٢ (الوحدة الثانية: الأعداد المركبة)

الأهداف العامة

أن يذكر الطالب نصّ نظرية ديموافر ويطبّقها في رفع عدد مركب لأُسّ صحيح.
أن يشتقّ متطابقات للزوايا المتعددة ( $\cos 3\theta$ ، $\sin 3\theta$ …) باستخدام النظرية.
أن يوجد الجذور النونية لعدد مركب ويحدّد عددها ومواقعها.

المحتوى الرئيسي

نصّ النظرية

لكل عدد صحيح $n$ :

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)

وبصورة أعمّ، إذا كان $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ فإن:

z^n = r^n\,[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)]

أي أن رفع العدد للأُس $n$ يرفع المقياس للأُس $n$ ويضرب السعة في $n$ . تُثبَت النظرية بالاستقراء الرياضي اعتمادًا على قاعدة «ضرب الأعداد المركبة يجمع السعات» من الدرس السابق، وهي صحيحة للأُس الموجب والسالب والصفر.

اشتقاق متطابقات الزوايا المتعددة

نطبّق النظرية بطريقتين على المقدار نفسه ثم نساوي:

بنظرية ديموافر: $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$ .
بمفكوك ذات الحدين: $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta$ .

بمساواة الجزأين الحقيقيين ثم التخيّليين:

\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta, \qquad \sin 3\theta = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta

الجذور النونية لعدد مركب

للعدد $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ عددٌ قدره $n$ من الجذور النونية المختلفة، تُعطى بالصيغة:

z^{1/n} = r^{1/n}\left[\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right], \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1

جميع الجذور لها المقياس نفسه $r^{1/n}$ ، لذا تقع على محيط دائرة نصف قطرها $r^{1/n}$ ومركزها نقطة الأصل، وتتوزّع عليها بانتظام بفارق زاوي مقداره $\frac{2\pi}{n}$ بين كل جذرين متجاورين.

النقاط الرئيسية

نظرية ديموافر: $[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n[\cos n\theta + i\sin n\theta]$ .
تصلح لأيّ أُسّ صحيح: موجب أو سالب أو صفر.
لاشتقاق متطابقة زاوية متعددة: طبّق النظرية ومفكوك ذات الحدين على المقدار نفسه وساوِ الأجزاء.
للعدد المركب $n$ جذورًا نونية متساوية المقياس، متساوية التباعد الزاوي على دائرة واحدة.
عوّض $k = 0, 1, \dots, n-1$ فقط؛ أي قيمة أخرى لـ $k$ تكرّر جذرًا سابقًا.

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: احسب $(1 + i)^8$ .

الحل: $1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ . بنظرية ديموافر:

(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8\left[\cos\left(8 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(8 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right] = 16\,[\cos 2\pi + i\sin 2\pi] = 16

(تحقّق مباشر: $(1+i)^2 = 2i$ ، ومنه $(1+i)^8 = (2i)^4 = 16\,i^4 = 16$ .)

مثال ٢: أوجد الجذرين التربيعيين للعدد $i$ .

الحل: $i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$ ، فالمقياس $r = 1$ والسعة $\theta = \frac{\pi}{2}$ . الجذور التربيعية ( $n = 2$ ):

w_k = \cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{2} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{2}, \quad k = 0, 1

عند $k = 0$ : $\;w_0 = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$ .
عند $k = 1$ : $\;w_1 = \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$ .

أمثلة إضافية

مثال ٣: بيّن أن $\left(\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5}\right)^{5} = -1$ .

الحل: بنظرية ديموافر المقدار $= \cos\left(5 \cdot \frac{\pi}{5}\right) + i\sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{5}\right) = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = -1$ .

ملاحظات:

عند رفع عدد مركب لأُسّ كبير، تحويله إلى الصورة المثلثية أولًا أسرع بكثير من الضرب المتكرّر.
في متطابقات الزوايا المتعددة، الجزء الحقيقي يعطي $\cos n\theta$ والجزء التخيّلي يعطي $\sin n\theta$ .
الجذور النونية للواحد الصحيح حالة خاصة ( $r = 1$ , $\theta = 0$ ) وهي موضوع الدرس التالي.

نظرية ديموافر — الرياضيات البحتة