ملخص نظرية ديموافر — ثالثة ثانوي

مقدمة

لحساب $(1+i)^{20}$ بالضرب المتكرر تحتاج وقتًا طويلًا وتتراكم الأخطاء. لكن إذا عرفت أن ضرب الأعداد المركبة يجمع سعاتها، فرفع العدد لقوة $n$ يضرب سعته في $n$ . هذه هي نظرية ديموافر، وهي كذلك المفتاح لإيجاد جذور الأعداد المركبة وللمتطابقات المثلثية للزوايا المتعددة.

أهداف التعلم

تطبّق نظرية ديموافر لإيجاد قوى الأعداد المركبة بأس صحيح.
تشتق متطابقات مثل $\sin 3\theta$ و $\cos 3\theta$ بدلالة $\sin\theta$ و $\cos\theta$ .
تعمّم النظرية للأس النسبي لتجد الجذور النونية لعدد مركب وتمثلها في مستوى أرجاند.
تحل معادلات من الشكل $z^n = a$ ومعادلات تربيعية بمعاملات مركبة.

شرح الدرس

نظرية ديموافر للأس الصحيح

لأي عدد صحيح $n$ :

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta

وإذا كان $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ فإن $z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ ؛ أي أن رفع العدد للأس $n$ يرفع مقياسه للأس $n$ ويضرب سعته في $n$ . وتُثبَت النظرية بالاستقراء الرياضي اعتمادًا على أن ضرب الأعداد المركبة يجمع سعاتها، وتصح للأس الموجب والسالب والصفر.

اشتقاق متطابقات الزوايا المتعددة

نكتب $(\cos\theta + i\sin\theta)^3$ بطريقتين: بنظرية ديموافر وبمفكوك ذات الحدين، ثم نساوي الجزأين الحقيقيين والجزأين التخيليين:

\cos 3\theta + i\sin 3\theta = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta

ومنه $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ و $\sin 3\theta = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ .

الأس النسبي والجذور النونية

القوة $\frac{1}{n}$ لعدد مركب تعني جذره النوني، وللعدد $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ عدد $n$ من الجذور النونية المختلفة:

z^{1/n} = r^{1/n}\left[\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right], \qquad k = 0, 1, \dots, n-1

لا نحتاج قيمًا أخرى لـ $k$ لأنها تكرّر جذورًا سبقت. وتقع الجذور كلها على دائرة مركزها الأصل ونصف قطرها $r^{1/n}$ وتقسمها إلى $n$ أقواس متساوية، فتشكل رؤوس مضلّع منتظم عدد أضلاعه $n$ ، والزاوية بين جذرين متتاليين $\frac{2\pi}{n}$ .

الجذور الرابعة للعدد 16 أربع نقاط على دائرة نصف قطرها 2: العدد 2 والعدد 2i والعدد سالب 2 والعدد سالب 2i، والفرق بين كل نقطتين متجاورتين 90 درجة

ومن خواصها أن مجموع الجذور النونية لأي عدد مركب ( $n \ge 2$ ) يساوي صفرًا.

حل المعادلات

معادلة $z^n = a$ : نكتب $a$ بالصورة المثلثية ونوجد جذورها النونية.
الجذر التربيعي لعدد مركب جبريًّا: نفرض $\sqrt{a + bi} = x + yi$ ونربّع، ثم نساوي الجزأين الحقيقيين والتخيليين.
معادلة تربيعية بمعاملات مركبة: نطبّق القانون العام، ونستخدم الجذور التربيعية للمميّز.

تعريفات

الجذر النوني: عدد $w$ يحقق $w^n = z$ .
الأس النسبي: رفع عدد لأس كسري $\frac{p}{q}$ بمعنى جذر نوني ثم قوة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: احسب $(1+i)^8$ .

الحل: $1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ فـ $(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8\left(\cos 2\pi + i\sin 2\pi\right) = 16$ .

مثال 2: احسب $(\sqrt{3} - i)^6$ .

الحل: $r = 2$ و $\theta = -\frac{\pi}{6}$ ، فـ $(\sqrt{3}-i)^6 = 2^6\left[\cos(-\pi) + i\sin(-\pi)\right] = -64$ .

مثال 3: عبّر عن $\sin 3\theta$ بدلالة $\sin\theta$ فقط.

الحل: من $\sin 3\theta = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta$ وباستبدال $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ : $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ .

مثال 4: أوجد جذور المعادلة $z^3 = -8$ .

الحل: $-8 = 8(\cos\pi + i\sin\pi)$ فالجذور $2\left[\cos\frac{\pi + 2k\pi}{3} + i\sin\frac{\pi + 2k\pi}{3}\right]$ :

$k = 0$ : $2\left(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ\right) = 1 + \sqrt{3}\,i$ .
$k = 1$ : $2\left(\cos 180^\circ + i\sin 180^\circ\right) = -2$ .
$k = 2$ : $2\left(\cos 300^\circ + i\sin 300^\circ\right) = 1 - \sqrt{3}\,i$ .

مثال 5: أوجد الجذور الرابعة للعدد $-8 + 8\sqrt{3}\,i$ .

الحل: $r = 16$ و $\theta = \frac{2\pi}{3}$ ، والجذور $2\left[\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\right)\right]$ فهي: $\sqrt{3} + i$ و $-1 + \sqrt{3}\,i$ و $-\sqrt{3} - i$ و $1 - \sqrt{3}\,i$ .

مثال 6 (الجذر التربيعي جبريًّا): أوجد الجذرين التربيعيين للعدد $5 - 12i$ .

الحل: نفرض $(x + yi)^2 = 5 - 12i$ فيكون $x^2 - y^2 = 5$ و $2xy = -12$ . ونستعمل $x^2 + y^2 = |5 - 12i| = 13$ . بالجمع $x^2 = 9$ ومنه $x = \pm 3$ ثم $y = \mp 2$ . الجذران $3 - 2i$ و $-3 + 2i$ .

مثال 7: حل المعادلة $z^2 - 4z + 13 = 0$ .

الحل: $z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$ .

ملاحظات مهمة

عند رفع $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ للأس $n$ يُرفع المقياس $r$ للأس نفسه ولا يُضرب فيه.
لإيجاد الجذور النونية خذ $k = 0, 1, \dots, n-1$ فقط.
ابدأ بكتابة العدد في الصورة المثلثية بسعته الأساسية قبل الرفع أو الجذر.
تحقق من الناتج بالتربيع أو بالأس المناسب عند الجذور التربيعية.

المفاهيم الأساسية

$\left[r(\cos\theta + i\sin\theta)\right]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ .
للعدد المركب $n$ من الجذور النونية على دائرة نصف قطرها $r^{1/n}$ بزاوية $\frac{2\pi}{n}$ بين كل جذرين متتاليين.
مجموع الجذور النونية لأي عدد مركب (حين $n\ge 2$ ) يساوي صفرًا.
يمكن اشتقاق متطابقات الزوايا المتعددة بمطابقة نظرية ديموافر ومفكوك ذات الحدين.

ملخص الدرس

تحوّل نظرية ديموافر قوى الأعداد المركبة إلى عملية على المقياس والسعة، وتُعمَّم للأس النسبي لتعطي الجذور النونية التي تنتظم على دائرة وتكوّن مضلّعًا منتظمًا. وبها نشتق المتطابقات المثلثية ونحل المعادلات $z^n = a$ .

أسئلة للتدريب

احسب $\left(\cos 20^\circ + i\sin 20^\circ\right)^{9}$ ثم اكتب الناتج في الصورة الجبرية.
احسب $(1 - i)^{10}$ .
استنتج $\cos 3\theta$ بدلالة $\cos\theta$ فقط.
أوجد الجذور التربيعية للعدد $-3 + 4i$ جبريًّا ومثليًّا.
أوجد جذور المعادلة $z^4 = 81$ ومثلها في مستوى أرجاند.