أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (كرة): كرة معدنية يزداد نصف قطرها بالتسخين بمعدل $0.5$ سم/ث. أوجد معدل تزايد مساحة سطحها وحجمها عندما $r = 6$ سم.

الحل: $S = 4\pi r^2$ فـ $\dfrac{dS}{dt} = 8\pi r\dfrac{dr}{dt} = 8\pi(6)(0.5) = 24\pi$ سم²/ث. و$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ فـ $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt} = 4\pi(36)(0.5) = 72\pi$ سم³/ث.

مثال 2 (مكعب): يتمدد مكعب فيزداد طول حرفه بمعدل $0.3$ سم/ث. أوجد معدل تزايد حجمه ومساحته الكلية عندما يكون الحرف $5$ سم.

الحل: $V = x^3$ فـ $\dfrac{dV}{dt} = 3x^2\dfrac{dx}{dt} = 3(25)(0.3) = 22.5$ سم³/ث. و$S = 6x^2$ فـ $\dfrac{dS}{dt} = 12x\dfrac{dx}{dt} = 12(5)(0.3) = 18$ سم²/ث.

مثال 3 (سلم منزلق): سلم طوله $5$ م يرتكز طرفه العلوي على حائط رأسي وطرفه السفلي على أرض أفقية، ويتحرك الطرف السفلي مبتعدًا عن الحائط بمعدل $0.5$ م/ث. أوجد معدل انزلاق الطرف العلوي ومعدل تغير قياس زاوية ميل السلم على الأرض عندما يكون الطرف السفلي على بعد $3$ م من الحائط.

الحل: $x^2 + y^2 = 25$ ومن $x = 3$ نجد $y = 4$. بالاشتقاق: $2x\dfrac{dx}{dt} + 2y\dfrac{dy}{dt} = 0$ فـ $\dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{x}{y}\dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{3}{4}(0.5) = -\dfrac{3}{8}$ م/ث (ينزلق لأسفل). وللزاوية $\theta$: $\cos\theta = \dfrac{x}{5}$ فباشتقاق الطرفين $-\sin\theta\,\dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{1}{5}\dfrac{dx}{dt} = 0.1$ وعند $\sin\theta = \dfrac{4}{5}$ نجد $\dfrac{d\theta}{dt} = -\dfrac{1}{8}$ راديان/ث (تتناقص الزاوية).

مثال 4 (طول الظل): يسير رجل طوله $1.6$ م مبتعدًا عن قاعدة عمود إنارة ارتفاع مصباحه $4.8$ م بسرعة $1.5$ م/ث. أوجد معدل تغير طول ظله ومعدل ابتعاد طرف ظله عن قاعدة العمود.

الحل: ليكن $x$ بعد الرجل عن قاعدة العمود و$s$ طول الظل. بتشابه المثلثين $\dfrac{4.8}{1.6} = \dfrac{x + s}{s}$ فـ $3s = x + s$ أي $x = 2s$ ومنها $\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{1}{2}\dfrac{dx}{dt} = 0.75$ م/ث. وطرف الظل يبعد $x + s = 3s$ فمعدل ابتعاده $3(0.75) = 2.25$ م/ث.

مثال 5 (مساحة مثلث): مثلث قائم الزاوية طولا ضلعيه القائمين $x = 6$ سم و$y = 8$ سم، يتزايد $x$ بمعدل $2$ سم/ث ويتناقص $y$ بمعدل $1$ سم/ث. أوجد معدل تغير مساحته ومعدل تغير طول وتره.

الحل: $A = \dfrac{1}{2}xy$ فـ $\dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2}\left(y\dfrac{dx}{dt} + x\dfrac{dy}{dt}\right) = \dfrac{1}{2}(16 - 6) = 5$ سم²/ث. والوتر $z = 10$ و$z^2 = x^2 + y^2$ فـ $\dfrac{dz}{dt} = \dfrac{x\,x' + y\,y'}{z} = \dfrac{12 - 8}{10} = 0.4$ سم/ث.

مثال 6 (خزان مخروطي): خزان على شكل مخروط دائري قائم رأسه لأسفل ونصف قطر قاعدته يساوي نصف ارتفاعه، يُملأ بالماء بمعدل $3\pi$ م³/د. أوجد معدل ارتفاع الماء حين يكون عمقه $6$ م.

الحل: $r = \dfrac{h}{2}$ فـ $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{\pi h^3}{12}$ ومنه $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\pi h^2}{4}\dfrac{dh}{dt}$. بالتعويض $3\pi = \dfrac{\pi(36)}{4}\dfrac{dh}{dt} = 9\pi\dfrac{dh}{dt}$ فـ $\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{1}{3}$ م/د.

مثال 7 (دائرة كهربية): في دائرة كهربية $V = IR$ حيث $V$ فرق الجهد بالفولت و$I$ شدة التيار بالأمبير و$R$ المقاومة بالأوم. إذا كان $V = 24$ فولت ويتزايد بمعدل $0.5$ فولت/ث وكان $I = 3$ أمبير ويتناقص بمعدل $0.1$ أمبير/ث، فأوجد معدل تغير $R$.

الحل: $R = \dfrac{V}{I} = 8$ أوم. نشتق $V = IR$: $\dfrac{dV}{dt} = I\dfrac{dR}{dt} + R\dfrac{dI}{dt}$ فـ $0.5 = 3\dfrac{dR}{dt} + 8(-0.1)$ ومنه $\dfrac{dR}{dt} = \dfrac{1.3}{3} = \dfrac{13}{30} \approx 0.43$ أوم/ث.