المعدلات الزمنية المرتبطة — الرياضيات البحتة

معلومات الدرس

الصف: الثالث الثانوي
المادة: الرياضيات البحتة
الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
الترم: الأول (الترم الأول)
رقم الدرس: ٤–١ (قسم التفاضل والتكامل — الوحدة الأولى: الاشتقاق وتطبيقاته)

الأهداف العامة

أن يكوّن الطالب معادلة تربط الكميات المتغيّرة في مسألة معدّلات زمنية.
أن يشتقّ هذه المعادلة بالنسبة إلى الزمن مستخدمًا قاعدة السلسلة.
أن يعوّض بالقيم اللحظية ليوجد المعدّل المجهول.

المحتوى الرئيسي

فكرة المسألة

في كثير من المواقف تتغيّر عدّة كميات مع مرور الزمن، وتكون مرتبطة فيما بينها بعلاقة هندسية أو فيزيائية. إذا عرفنا معدّل تغيّر بعضها بالنسبة للزمن، أمكننا إيجاد معدّل تغيّر البقية باشتقاق العلاقة الرابطة بالنسبة إلى الزمن $t$ . تذكّر أن كل متغيّر هو دالة في $t$ ، فمشتقة $r^3$ بالنسبة لـ $t$ هي $3r^2\,\frac{dr}{dt}$ (قاعدة السلسلة).

خطوات الحلّ

حدّد المتغيّرات، وارسم شكلًا توضيحيًّا إن أمكن، وسمِّ المعطى والمطلوب من المعدّلات ( $\frac{d\cdots}{dt}$ ).
اكتب معادلة تربط المتغيّرات (مساحة، حجم، نظرية فيثاغورس، تشابه مثلثات …).
اشتقّ طرفَي المعادلة بالنسبة إلى $t$ .
عوّض بالقيم اللحظية للمتغيّرات وبالمعدّلات المعلومة.
حُلّ لإيجاد المعدّل المطلوب، وانتبه لإشارته (موجب: تزايد، سالب: تناقص) ولوحداته.

تنبيه: لا تعوّض بالقيم العددية قبل الاشتقاق؛ عوّض بعده فقط، وإلا اختفت المتغيّرات التي تحتاج مشتقاتها.

النقاط الرئيسية

كل كمية متغيّرة تُعامَل كدالة في الزمن عند الاشتقاق.
اكتب العلاقة الرابطة أولًا، ثم اشتقّها بالنسبة إلى $t$ .
عوّض بالقيم اللحظية بعد الاشتقاق لا قبله.
معادلات شائعة: مساحة الدائرة $A = \pi r^2$ ، حجم الكرة $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ ، نظرية فيثاغورس $x^2 + y^2 = L^2$ .
إشارة المعدّل تدلّ على تزايد أو تناقص، وتحقّق من الوحدات.

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: بالون كرويّ يُنفخ فيزداد حجمه بمعدّل $100$ سم³/ث. أوجد معدّل تزايد نصف قطره عندما يكون $r = 5$ سم.

الحل: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ ، وبالاشتقاق بالنسبة إلى $t$ :

\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\,\frac{dr}{dt}

نعوّض $\frac{dV}{dt} = 100$ و $r = 5$ : $\;100 = 4\pi (25)\frac{dr}{dt}$ ، ومنه:

\frac{dr}{dt} = \frac{100}{100\pi} = \frac{1}{\pi}

أي إن نصف القطر يزداد بمعدّل $\frac{1}{\pi}$ سم/ث.

مثال ٢: سُلَّم طوله $10$ م يستند إلى حائط رأسيّ، وينزلق طرفه السفليّ مبتعدًا عن الحائط بمعدّل $2$ م/ث. أوجد معدّل انزلاق طرفه العلويّ لأسفل عندما يكون الطرف السفليّ على بُعد $6$ م من الحائط.

الحل: ليكن $x$ بُعد الطرف السفليّ عن الحائط و $y$ ارتفاع الطرف العلويّ. فبنظرية فيثاغورس $x^2 + y^2 = 100$ . عند $x = 6$ يكون $y = 8$ . بالاشتقاق بالنسبة إلى $t$ :

2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt} = 0

نعوّض $x = 6$ ، $y = 8$ ، $\frac{dx}{dt} = 2$ : $\;2(6)(2) + 2(8)\frac{dy}{dt} = 0$ ، أي $24 + 16\frac{dy}{dt} = 0$ ، ومنه:

\frac{dy}{dt} = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2}

الإشارة السالبة تعني أن الطرف العلويّ ينزل بمعدّل $\frac{3}{2}$ م/ث.

مثال ٣: يتمدّد سطح دائريّ فيزداد نصف قطره بمعدّل $3$ سم/ث. أوجد معدّل تزايد مساحته عندما يكون $r = 10$ سم.

الحل: $A = \pi r^2$ ، وبالاشتقاق: $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\,\frac{dr}{dt}$ . نعوّض $r = 10$ و $\frac{dr}{dt} = 3$ :

\frac{dA}{dt} = 2\pi (10)(3) = 60\pi

أي إن المساحة تزداد بمعدّل $60\pi$ سم²/ث.

ملاحظات:

الشكل التوضيحيّ يساعد كثيرًا على كتابة العلاقة الرابطة الصحيحة.
في مسائل التشابه، استخدم نسبة الأضلاع المتناظرة لتقليل عدد المتغيّرات قبل الاشتقاق.
تأكّد أن كل المعدّلات بوحدات زمنية متوافقة (كلها لكل ثانية مثلًا).