أسئلة: البندول الزنبركي

الإجابة الصحيحة: تدل على أن القوة رادّة وتعمل دائمًا في عكس اتجاه الإزاحة لإعادة الكتلة نحو وضع الاتزان

الإشارة السالبة تعكس اتجاه القوة المعاكس للإزاحة، مما يضمن عملها كقوة استعادة (رادّة) تعيد الجسم لوضع الاتزان.

الإجابة الصحيحة: يتضاعف مرتين (يزداد للضعف)

الزمن الدوري $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ يتناسب طرديًا مع الجذر التربيعي للكتلة $\sqrt{m}$، وبجعل الكتلة $4m$ يصبح الزمن الجديد $2T$.

الإجابة الصحيحة: 20 راديان/ثانية

من العلاقة $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{200 / 0.5} = \sqrt{400} = 20$ راديان/ث.

الإجابة الصحيحة: كتلة الجسم $m$ وثابت الزنبرك $k$

الزمن الدوري يعتمد حصراً على خصائص النظام الفيزيائية $m$ و$k$ وفق العلاقة $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ ولا يتأثر بالسعة.

الإجابة الصحيحة: الطاقة الحركية تكون عظمى والسرعة عظمى

عند وضع الاتزان تنعدم الإزاحة ($x=0$) فتصبح طاقة الوضع صفراً وتتحول كامل الطاقة إلى طاقة حركية وتكون السرعة عظمى.

الإجابة الصحيحة: لا يغيّر قيمة الزمن الدوري أو السرعة الزاوية لأن الوزن يحدد وضع الاتزان الجديد فقط

الزنبرك الرأسي يزيح موضع الاتزان بمقدار ثابت، لكن تردد الحركة وزمنها الدوري يعتمدان فقط على $k$ و$m$.

الإجابة الصحيحة: عند أقصى إزاحة ($x = \pm A$)

عند أقصى إزاحة تتوقف الكتلة لحظياً (سرعة صفر، طاقة حركية صفر) وتكون كل الطاقة طاقة وضع مرنة $E = \frac{1}{2}kA^2$.

الإجابة الصحيحة: ربع قيمته الأصلية ($k/4$)

بما أن $T \propto 1/\sqrt{k}$، فإن مضاعفة $T$ تتطلب ضرب $k$ في العامل $(1/2)^2 = 1/4$.

الإجابة الصحيحة: نيوتن/متر (N/m)

من قانون هوك $F = -kx$، إذن $k = F/x$ ووحدته نيوتن لكل متر (N/m).

الإجابة الصحيحة: 5 نيوتن

مقدار القوة $F = kx = 100 \times 0.05 = 5$ نيوتن.

الإجابة الصحيحة: 100 نيوتن/متر

الطاقة الكلية $E = \frac{1}{2}kA^2 \implies 2 = \frac{1}{2} k (0.2)^2 \implies 2 = 0.02 k \implies k = 100$ نيوتن/متر.

الإجابة الصحيحة: قطع مكافئ يفتح للأعلى يعتمد على مربع الإزاحة $x^2$

طاقة الوضع تعطى بالعلاقة $U = \frac{1}{2}kx^2$، وهي معادلة تربيعية تمثل قطعاً مكافئاً يفتح للأعلى.

الإجابة الصحيحة: لا يتغير

الزمن الدوري للبندول الزنبركي $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ لا يحوي $g$؛ الجاذبية تغيّر موضع الاتزان ($x_0 = mg/k$) فقط.

الإجابة الصحيحة: 4.0 م/ث²

$\omega^2 = k/m = 20/0.50 = 40$، و $a_{max} = \omega^2 A = 40 \times 0.10 = 4.0$ م/ث² عند الطرفين.

الإجابة الصحيحة: 0.245 م

عند الاتزان $k x_0 = mg$، فتكون $x_0 = 0.50 \times 9.8 / 20 = 0.245$ م. القيمة 0.49 م هي أخفض استطالة لو تُركت الكتلة من نهاية الطول الطبيعي.

الإجابة الصحيحة: 0.3 ث

الانتقال من طرف إلى المركز ربع الزمن الدوري: $1.2 / 4 = 0.3$ ث.

الحل: (أ) السرعة الزاوية: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{80}{0.2}} = \sqrt{400} = 20 \text{ راديان/ثانية}$ (ب) الزمن الدوري: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0.314 \text{ ثانية}$ (جـ) السرعة العظمى: $v_{\max} = A\omega = 0.05 \times 20 = 1 \text{ م/ث}$

الحل: 1. **مصدر القوة الرادّة:** - في البندول البسيط: المركبة المماسية لوزن الكتلة ($mg \sin\theta$). - في البندول الزنبركي: قوة مرونة الزنبرك وفق قانون هوك ($F = -kx$). 2. **العوامل المحددة للزمن الدوري:** - البندول البسيط: طول الخيط ($L$) وعجلة الجاذبية ($g$)، بغض النظر عن الكتلة ($T = 2\pi\sqrt{L/g}$). - البندول الزنبركي: كتلة الجسم المعلق ($m$) وثابت صلابة الزنبرك ($k$) ($T = 2\pi\sqrt{m/k}$). 3. **الاعتماد على السعة:** - كلاهما (في الحدود المثالية للصغيرة) لا يعتمد زمنهما الدوري على سعة الاهتزازة $A$.

الحل: (أ) حساب ثابت الزنبرك $k$: $E = \frac{1}{2}kA^2 \implies 4 = \frac{1}{2}k(0.1)^2$ $4 = 0.005 k \implies k = \frac{4}{0.005} = 800 \text{ نيوتن/متر}$ (ب) عند إزاحة $x = 0.06$ متر: - طاقة الوضع المرنة $U$: $U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}(800)(0.06)^2 = 400 \times 0.0036 = 1.44 \text{ جول}$ - طاقة الحركة $K$ (من حفظ الطاقة $E = K + U$): $K = E - U = 4 - 1.44 = 2.56 \text{ جول}$

$\omega = \sqrt{20/0.50} = \sqrt{40} \approx 6.3$ راديان/ث، و $T = 2\pi/\omega \approx 1.0$ ث. السرعة العظمى $v_{max} = A\omega = 0.10 \times 6.3 \approx 0.63$ م/ث، وتحدث عند مرور الكتلة بموضع الاتزان حيث تكون العجلة صفرًا.

عند تعليق الكتلة يستطيل الزنبرك حتى موضع الاتزان حيث $k x_0 = mg$. إذا قسنا الإزاحة $x$ من هذا الموضع كانت قوة الزنبرك $-k(x_0 + x)$ لأعلى والوزن $mg$ لأسفل، فالمحصلة $mg - k x_0 - kx = -kx$ لأن $k x_0 = mg$. إذن معادلة الحركة $ma = -kx$ كما في الزنبرك الأفقي، فيكون $T = 2\pi\sqrt{m/k}$. الجاذبية تنقل موضع الاتزان إلى أسفل بمقدار $mg/k$ فقط ولا تغير الزمن الدوري.