أسئلة: البندول البسيط

الإجابة الصحيحة: يزداد بمقدار $\sqrt{2}$

من العلاقة $T=2\pi\sqrt{L/g}$، يتناسب $T$ طردياً مع $\sqrt{L}$، فإذا تضاعف $L$ يصبح الزمن الدوري $T' = 2\pi\sqrt{2L/g} = \sqrt{2}T$.

الإجابة الصحيحة: طول الخيط وعجلة الجاذبية

العلاقة $T=2\pi\sqrt{L/g}$ تُظهر أن الزمن الدوري يعتمد فقط على طول الخيط $L$ وعجلة الجاذبية $g$.

الإجابة الصحيحة: يزداد

بما أن $T$ يتناسب عكسياً مع $\sqrt{g}$، فإن نقص $g$ يؤدي إلى زيادة $T$.

الإجابة الصحيحة: أن تكون الزاوية $\theta$ صغيرة

التقريب $\sin\theta \approx \theta$ لا يصح إلا عند الزوايا الصغيرة (أقل من 15 درجة)، وهو شرط اعتبار الحركة توافقية بسيطة.

الإجابة الصحيحة: $1.4$ ثانية

$T = 2\pi\sqrt{0.49/9.8} = 2\pi\sqrt{0.05} \approx 2\times 3.14\times 0.2236 \approx 1.4$ ثانية.

الإجابة الصحيحة: القوة الرادة هي مركبة الوزن المماسية

القوة التي تعيد البندول لوضع الاتزان هي مركبة الوزن المماسية $mg\sin\theta$.

الإجابة الصحيحة: $0.5$ هرتز

التردد هو مقلوب الزمن الدوري $f = 1/T = 1/2 = 0.5$ هرتز.

الإجابة الصحيحة: $2T$

بما أن $T \propto \sqrt{L}$، فإن زيادة الطول بمقدار $4$ مرات تجعل الزمن الدوري يزداد بمقدار $\sqrt{4} = 2$ مرة.

الإجابة الصحيحة: صفر

عند وضع الاتزان تكون الإزاحة $x=0$، ومن معادلة الحركة $a=-(g/L)x$، تكون العجلة والقوة صفراً.

الإجابة الصحيحة: لا يتغير

الزمن الدوري للبندول البسيط مستقل تماماً عن كتلة الجسم المعلق.

الإجابة الصحيحة: $2$ ثانية

$T = \text{الزمن الكلي} / \text{عدد التأرجحات} = 40/20 = 2$ ثانية.

الإجابة الصحيحة: ثانية

الزمن الدوري هو زمن دورة واحدة ويقاس بالثانية.

الإجابة الصحيحة: المركبة المماسية للوزن $mg\sin\theta$

المركبة المماسية للقوس $mg\sin\theta$ هي التي تعيد الثقل نحو أخفض نقطة، أما المركبة $mg\cos\theta$ فعلى امتداد الخيط مع الشد ولا تعيده.

الإجابة الصحيحة: 4.9 ث

$T \propto 1/\sqrt{g}$، فإذا قلت $g$ إلى السدس تضاعف الزمن الدوري $\sqrt{6} \approx 2.45$ مرة: $2.0 \times 2.45 \approx 4.9$ ث.

الإجابة الصحيحة: 0.25 م

من $T = 2\pi\sqrt{L/g}$: $L = g T^2 / (4\pi^2) = 9.8 \times 1 / 39.5 \approx 0.25$ م.

1. نبدأ بمعادلة الحركة المماسية: $ma = -mg\sin\theta$. 2. عند الزوايا الصغيرة $\sin\theta \approx \theta$، فتصبح $a = -g\theta$. 3. بما أن $\theta = x/L$، فإن $a = -(g/L)x$. 4. بمقارنتها بمعادلة الحركة التوافقية $a = -\omega^2 x$، نجد أن $\omega^2 = g/L$ أي $\omega = \sqrt{g/L}$. 5. بما أن $T = 2\pi/\omega$، بالتعويض نحصل على $T = 2\pi\sqrt{L/g}$.

1. نحسب الزمن الدوري: $T = 2\pi\sqrt{L/g} = 2\times 3.1416\times\sqrt{2.5/9.8} \approx 6.2832\times\sqrt{0.255} \approx 6.2832\times 0.505 \approx 3.17$ ثانية. 2. التردد هو مقلوب الزمن الدوري: $f = 1/T = 1/3.17 \approx 0.315$ هرتز.

تؤثر قوة الجاذبية (الوزن) $mg$ كقوة رادة (المركبة المماسية $mg\sin\theta$). في قانون نيوتن الثاني $ma=F_{net}$، نجد أن الكتلة $m$ تظهر في طرفي المعادلة ($ma = -mg\sin\theta$)، مما يؤدي إلى اختصارها، فتصبح العجلة $a = -g\sin\theta$ مستقلة عن الكتلة.

1. الزمن الدوري $T = 36/20 = 1.8$ ثانية. 2. المعادلة: $g = 4\pi^2 L/T^2$. 3. التعويض: $g = 4\times (3.1416)^2\times 0.8 / (1.8)^2 = 39.478\times 0.8 / 3.24 = 31.58 / 3.24 \approx 9.75$ م/ث$^2$.

البندول البسيط: يعتمد زمنه الدوري على طول الخيط $L$ وعجلة الجاذبية $g$ فقط ($T=2\pi\sqrt{L/g}$). البندول الزنبركي: يعتمد زمنه الدوري على كتلة الجسم $m$ وثابت الزنبرك $k$ فقط ($T=2\pi\sqrt{m/k}$). كلاهما لا يعتمد على سعة الاهتزازة (في حدود الحركة التوافقية).

عند زاوية $60$ درجة، لا يصح التقريب $\sin\theta \approx \theta$ لأن الزاوية كبيرة. الحركة ستكون دورية ولكنها ليست توافقية بسيطة، والزمن الدوري سيعتمد على سعة الاهتزازة (الزاوية)، لذا لا تنطبق عليه العلاقة $T=2\pi\sqrt{L/g}$ بدقة.

$T = 30 / 20 = 1.5$ ث. ومن $T = 2\pi\sqrt{L/g}$: $g = 4\pi^2 L / T^2 = 39.5 \times 0.56 / 2.25 \approx 9.8$ م/ث². نقيس زمن عدد كبير من الاهتزازات لأن خطأ تشغيل الساعة وإيقافها ثابت تقريبًا، فيتوزع على عدد كبير من الاهتزازات ويصغر أثره في الزمن الدوري.