أهداف التعلم

• أن تعرّف العدد العشوائي.
• أن تستخدم الدوال SUM وIF وRAND في جداول البيانات.
• أن تعرّف طريقة مونت كارلو وتربطها بالنماذج الاحتمالية.
• أن تقدّر قيمة $\pi$ بالمحاكاة وتفسر أثر عدد النقاط على الدقة.

شرح الدرس

العدد العشوائي

العدد العشوائي (Random Number): عدد يمكن أن يظهر باحتمال متساوٍ ضمن مدى معين؛ فلا يمكن توقعه مسبقًا.

دوال جداول البيانات

توسيع مدى RAND: الصيغة =RAND()*6+1 تولّد عددًا عشوائيًّا أكبر من أو يساوي 1 وأصغر من 7. (للحصول على رمية نرد صحيحة من 1 إلى 6 نأخذ الجزء الصحيح: =INT(RAND()*6)+1.)

طريقة مونت كارلو

طريقة مونت كارلو (Monte Carlo Method): طريقة لحل المشكلات باستخدام أعداد عشوائية في النماذج الاحتمالية؛ نكرر تجربة عشوائية مرات كثيرة ثم نستنتج النتيجة من النسب.

تقدير قيمة $\pi$

نرسم مربعًا طول ضلعه 1، وداخله ربع دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 1.

• مساحة المربع $= 1$.
• مساحة ربع الدائرة $= \frac{\pi \times 1^2}{4} = \frac{\pi}{4}$.

إذا وزعنا $N$ نقطة عشوائيًّا داخل المربع ووقع منها $n$ نقطة داخل ربع الدائرة، فإن:

الخطوات في جدول البيانات (100 نقطة في الصفوف من 3 إلى 102):

1. الإحداثي $x$ في B3: =RAND()، والإحداثي $y$ في C3: =RAND().
2. في D3 نحسب $x^2 + y^2$: =B3^2+C3^2.
3. في E3 نحدد هل النقطة داخل ربع الدائرة (المسافة من الأصل لا تزيد عن 1): =IF(D3<=1,1,0).
4. ننسخ الصفوف لأسفل حتى الصف 102.
5. في G3 نحسب احتمال وقوع النقطة داخل ربع الدائرة: =SUM(E3:E102)/100.
6. في H3 نحسب القيمة التقريبية لـ $\pi$: =G3*4.

أسئلة للتدريب

1. ما العدد العشوائي؟ وما مدى القيم التي تولدها الدالة RAND()؟
2. اكتب صيغة IF تعرض “مرتفعة” إذا كانت درجة الحرارة في B2 أكبر من 35، وإلا تعرض “معتدلة”.
3. عرّف طريقة مونت كارلو.
4. وُزعت 10000 نقطة داخل مربع فوقع منها 7850 داخل ربع الدائرة. قدّر قيمة $\pi$.
5. كيف تتغير دقة تقدير $\pi$ بزيادة عدد النقاط؟ ولماذا تختلف النتيجة في كل تشغيل؟