ملخص العمليات الحسابية العددية (1): جمع وطرح الأعداد الثنائية — أولى ثانوي

العمليات الحسابية العددية (1): جمع وطرح الأعداد الثنائية

قواعد جمع الأعداد الثنائية والترحيل (الحمل) إلى الخانة الأعلى، وقواعد طرح الأعداد الثنائية والاستلاف من الخانة الأعلى، مع أمثلة محلولة خطوة بخطوة والتحقق بالنظام العشري.

مقدمة

الوحدة السادسة: تصميم المعلومات — الموضوع 6-5

كل عملية حسابية يجريها الحاسوب، من جمع درجاتك إلى حساب مسار صاروخ، تتم في النهاية بالنظام الثنائي. والخبر الجيد أن الجمع والطرح الثنائي يسيران بالطريقة نفسها التي تعلمتها في المرحلة الابتدائية: خانة بخانة، مع حمل واستلاف، لكن بقاعدة “2” بدلًا من “10”.

أهداف التعلم

أن تتذكر قواعد جمع رقمين ثنائيين.
أن تجمع عددين ثنائيين مع ترحيل الحمل.
أن تتذكر قواعد طرح رقمين ثنائيين.
أن تطرح عددين ثنائيين مع الاستلاف، وتتحقق من الناتج بالنظام العشري.

شرح الدرس

الجمع الثنائي

نجمع خانة بخانة من اليمين. وعندما يصل مجموع الخانة إلى 2 نكتب $0$ ونرحّل (نحمل) $1$ إلى الخانة الأعلى التالية:

العملية	الناتج
$0 + 0$	$0$
$0 + 1$	$1$
$1 + 1$	$10$ (نكتب 0 ونحمل 1)
$1 + 1 + 1$	$11$ (نكتب 1 ونحمل 1)

مثال: $(0101)_2 + (1001)_2$

carry:      1
          0101
        + 1001
        ------
          1110

الخانة الأولى: $1 + 1 = 10$ ← نكتب $0$ ونحمل $1$ .
الخانة الثانية: $0 + 0 + 1$ (الحمل) $= 1$ .
الخانة الثالثة: $1 + 0 = 1$ .
الخانة الرابعة: $0 + 1 = 1$ .

الناتج $(1110)_2$ . تحقق: $5 + 9 = 14$ و $(1110)_2 = 8 + 4 + 2 = 14$ .

الطرح الثنائي

نطرح خانة بخانة من اليمين. وعندما يكون الرقم العلوي أصغر من السفلي نستلف $1$ من الخانة الأعلى، وهذا الواحد يساوي 2 في الخانة الحالية (كما يساوي الواحد المستلف 10 في النظام العشري):

العملية	الناتج
$0 - 0$	$0$
$1 - 0$	$1$
$1 - 1$	$0$
$10 - 1$	$1$

مثال: $(1010)_2 - (0110)_2$

الخانة الأولى: $0 - 0 = 0$ .
الخانة الثانية: $1 - 1 = 0$ .
الخانة الثالثة: $0 - 1$ لا يمكن، فنستلف من الخانة الرابعة، فتصبح الخانة الثالثة $10$ ، و $10 - 1 = 1$ ، وتصبح الخانة الرابعة $0$ .
الخانة الرابعة: $0 - 0 = 0$ .

الناتج $(0100)_2$ . تحقق: $10 - 6 = 4$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: $(1011)_2 + (0111)_2$

carry:   1111
          1011
        + 0111
        ------
         10010

الخانة 1: $1 + 1 = 10$ ← نكتب 0 ونحمل 1.
الخانة 2: $1 + 1 + 1 = 11$ ← نكتب 1 ونحمل 1.
الخانة 3: $0 + 1 + 1 = 10$ ← نكتب 0 ونحمل 1.
الخانة 4: $1 + 0 + 1 = 10$ ← نكتب 0 ونحمل 1 إلى خانة جديدة.

الناتج $(10010)_2$ . تحقق: $11 + 7 = 18 = 16 + 2$ .

مثال 2: $(1100)_2 - (0101)_2$

الناتج $(0111)_2$ . تحقق: $12 - 5 = 7$ .

ملاحظات مهمة

لا تنسَ إضافة الحمل إلى الخانة التالية؛ وهو أكثر الأخطاء شيوعًا.
في الجمع قد يظهر رقم إضافي على اليسار (خانة جديدة)، مثل $1111 + 0001 = 10000$ .
تحقق دائمًا بتحويل الأعداد إلى العشري.

المفاهيم الأساسية

الجمع الثنائي خانة بخانة، و $1 + 1 = (10)_2$ فنكتب 0 ونحمل 1.
$1 + 1 + 1 = (11)_2$ فنكتب 1 ونحمل 1.
الطرح الثنائي خانة بخانة، وعند الحاجة نستلف 1 من الخانة الأعلى ليصبح 2 في الخانة الحالية.
$(10)_2 - 1 = 1$ .

ملخص الدرس

يجمع الحاسوب الأعداد الثنائية ويطرحها خانة بخانة كما نفعل في العشري، لكن الحمل يحدث عند الوصول إلى 2، والواحد المستلف يساوي 2 في الخانة الأدنى. وبالتحقق من الناتج بالنظام العشري نتأكد من صحة الحل.

أسئلة للتدريب

أوجد: $(0110)_2 + (0011)_2$ .
أوجد: $(1111)_2 + (0001)_2$ .
أوجد: $(1001)_2 - (0011)_2$ .
أوجد: $(10000)_2 - (00001)_2$ .
تحقق من إجاباتك بتحويل الأعداد إلى النظام العشري.