أسئلة: إشارة الدالة

الإجابة الصحيحة: $x = 4$

لإيجاد صفر الدالة نضع $3x - 12 = 0$ ومنها $3x = 12$ إذن $x = 4$.

الإجابة الصحيحة: $x < 3$

صفر الدالة هو $x = 3$. وبما أن معامل $x$ سالب ($a = -2 < 0$)، تكون الدالة موجبة قبل الصفر أي عندما $x < 3$.

الإجابة الصحيحة: $x = 3$ أو $x = -3$

بتحليل الدالة إلى عوامل: $f(x) = (x - 3)(x + 3) = 0$، ومنها الأصفار هي $x = 3$ و $x = -3$.

الإجابة الصحيحة: $-2 < x < 3$

بتحليل الدالة $f(x) = (x-3)(x+2)$، الأصفار هما $3$ و $-2$. وحيث إن معامل $x^2$ موجب، تكون الدالة سالبة بين الجذرين أي عندما $-2 < x < 3$.

الإجابة الصحيحة: سالبة دائماً

المميز لهذه الدالة $\Delta = 2^2 - 4(-1)(-5) = 4 - 20 = -16 < 0$، ومعامل $x^2$ سالب ($a = -1 < 0$)؛ إذن الدالة سالبة لكل قيم $x$ الحقيقية.

الإجابة الصحيحة: $x = -3$

نضع $-5x - 15 = 0$ ومنها $-5x = 15$ إذن $x = -3$.

الإجابة الصحيحة: $x < -2$

صفر الدالة هو $x = -2$. وبما أن معامل $x$ موجب ($a = 4 > 0$)، تكون الدالة سالبة قبل الصفر أي عندما $x < -2$.

الإجابة الصحيحة: $x < 1$ أو $x > 4$

تحليل الدالة: $f(x) = (x-1)(x-4)$ والأصفار هي $1$ و $4$. تكون الدالة موجبة خارج الجذرين أي عندما $x < 1$ أو $x > 4$.

الإجابة الصحيحة: $f(x) = x^2 + x + 1$

للدالة $f(x) = x^2 + x + 1$ نجد أن معامل $x^2$ موجب ومميزها $\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$، إذن هي موجبة دائماً.

الإجابة الصحيحة: سالبة

الدالة الثابتة التي قيمتها عدد سالب تحمل إشارة ذلك العدد لجميع قيم المجال.

الإجابة الصحيحة: مخالفة لإشارة معامل $x^2$

حسب دراسة إشارة الدالة التربيعية، تكون الدالة في الفترة بين الجذرين مخالفة لإشارة معامل $x^2$ وخارجها مثله.

الإجابة الصحيحة: $x = 4$ أو $x = -4$

بتحليل فرق المربعين $f(x) = (x-4)(x+4) = 0$ إذن الأصفار هي $x = 4$ و $x = -4$.

الإجابة الصحيحة: موجبة لجميع قيم $x$

المميز $= 16 - 20 = -4 < 0$ ومعامل $x^2$ موجب، فالدالة موجبة لكل الأعداد الحقيقية.

الإجابة الصحيحة: سالبة لكل $x \neq 3$ وتساوي صفرًا عند $x = 3$

$f(x) = -(x - 3)^2$، والمميز صفر ومعامل $x^2$ سالب؛ فالدالة سالبة إلا عند الجذر المكرر $x = 3$.

الإجابة الصحيحة: سالبة لجميع قيم $x$

الدالة الثابتة لها إشارة الثابت نفسه لكل الأعداد الحقيقية، والثابت هنا سالب.

1. نجد صفر الدالة بوضع $-3x + 9 = 0 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$. 2. بما أن معامل $x$ سالب ($a = -3 < 0$): - تكون الدالة موجبة عندما $x < 3$. - تكون الدالة مساوية لصفر عند $x = 3$. - تكون الدالة سالبة عندما $x > 3$.

1. نحلل الدالة إلى عوامل: $f(x) = (x-1)(x-4)$. 2. أصفار الدالة هما $x = 1$ و $x = 4$. 3. نبني جدول الإشارة: - للفترة $x < 1$: إشارة كل من القوسين سالبة، إذن الدالة موجبة. - عند $x = 1$: الدالة تساوي صفر. - للفترة من $1$ إلى $4$: القوس الأول موجب والثاني سالب، إذن الدالة سالبة. - عند $x = 4$: الدالة تساوي صفر. - للفترة $x > 4$: إشارة كل من القوسين موجبة، إذن الدالة موجبة. النتيجة النهائية: $f(x) > 0$ عندما $x < 1$ أو $x > 4$، و $f(x) < 0$ عندما $1 < x < 4$.

1. نحدد معاملات الدالة: $a = 1$، $b = 1$، $c = 1$. 2. نحسب مميز الدالة ($\Delta$): $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$. 3. بما أن مميز الدالة سالب ($\Delta < 0$)، فهذا يعني أن الدالة ليس لها أصفار حقيقية (لا تقطع محور السينات). 4. وبما أن معامل $x^2$ موجب ($a = 1 > 0$)، فإن الدالة تحمل إشارة معامل $x^2$ لجميع قيم $x$ الحقيقية؛ وعليه تكون الدالة موجبة دائماً لكل $x \in \mathbb{R}$.

1. نأخذ إشارة السالب عامل مشترك لتسهيل التحليل: $f(x) = -(x^2 - 4x + 4)$. 2. نحلل المقدار الثلاثي المربع الكامل: $f(x) = -(x - 2)^2$. 3. نجد صفر الدالة: $-(x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (صفر مكرر). 4. بما أن القوس $(x - 2)^2$ موجب دائماً لجميع قيم $x \neq 2$ ومضروب في إشارة سالبة، فإن الدالة تكون سالبة لجميع قيم $x$ ما عدا عند $x = 2$ حيث تساوي صفرًا. - إذن: $f(x) < 0$ لكل $x \neq 2$، و $f(x) = 0$ عند $x = 2$.

1. نضع الدالة تساوي صفر لإيجاد الجذور: $2x^2 - 8 = 0 \Rightarrow 2(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow 2(x-2)(x+2) = 0$. 2. أصفار الدالة هما $x = 2$ و $x = -2$. 3. معامل $x^2$ موجب ($a = 2 > 0$)، إذن الدالة تكون سالبة بين الجذرين وموجبة خارجهما. 4. الفترات المطلوبة (حيث الدالة سالبة أو تساوي صفر): الفترة المغلقة $[-2, 2]$ أي عندما $-2 \le x \le 2$.

1. نجد صفر الدالة بوضع $\frac{1}{2}x - 2 = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 2 \Rightarrow x = 4$. 2. معامل $x$ موجب ($a = \frac{1}{2} > 0$). 3. بناءً على ذلك: - الدالة سالبة عندما $x < 4$. - الدالة تساوي صفر عند $x = 4$. - الدالة موجبة عندما $x > 4$.