أسئلة: منصفا الزاوية والأجزاء المتناسبة

الإجابة الصحيحة: $2:1$

حسب نظرية منصف الزاوية الداخلية: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{4} = 2$.

الإجابة الصحيحة: $5$ سم

نسبة التقسيم $10:6 = 5:3$. مجموع الأجزاء $5+3=8$. إذن $BD = \frac{5}{8} \times 8 = 5$ سم.

الإجابة الصحيحة: $\frac{5}{7}$

منصف الزاوية الخارجة يقسم القاعدة من الخارج بنسبة طولي الضلعين الآخرين: $\frac{EB}{EC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{7}$.

الإجابة الصحيحة: إذا كان المثلث متساوي الساقين

في المثلث متساوي الساقين، يكون منصف زاوية الرأس الخارجية موازيًا للقاعدة فلا يقطعها.

الإجابة الصحيحة: $3$ سم

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{4}{DC} = \frac{12}{9} \Rightarrow \frac{4}{DC} = \frac{4}{3} \Rightarrow DC=3$ سم.

الإجابة الصحيحة: $6$ سم و $4$ سم

النسبة $15:10 = 3:2$. مجموع الأجزاء $5$. الجزء الأول $\frac{3}{5} \times 10 = 6$، والثاني $\frac{2}{5} \times 10 = 4$.

الإجابة الصحيحة: لا يوجد (موازٍ)

بما أن المثلث متساوي الساقين ($AB=AC$)، فإن منصف الزاوية الخارجية عند $A$ يوازي القاعدة $BC$.

الإجابة الصحيحة: نعم، إذا كان $DC=4$ سم

يجب أن تتحقق النسبة $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{3}{DC} = \frac{6}{8} \Rightarrow \frac{3}{DC} = \frac{3}{4} \Rightarrow DC=4$.

الإجابة الصحيحة: نسبة طولي الضلعين الآخرين

هذا هو نص نظرية منصف الزاوية الداخلية.

الإجابة الصحيحة: $6$ سم

النسبة $20:15 = 4:3$. مجموع الأجزاء $7$. $DC = \frac{3}{7} \times 14 = 6$ سم.

الإجابة الصحيحة: $4$ سم

$\frac{EB}{EC} = \frac{AB}{AC} = \frac{10}{4} = 2.5$. وبما أن $EB = EC + BC = EC + 6$، فإن $\frac{EC+6}{EC} = 2.5 \Rightarrow EC+6 = 2.5EC \Rightarrow 1.5EC = 6 \Rightarrow EC=4$.

الإجابة الصحيحة: متعامدان

منصف الزاوية الداخلية ومنصف الزاوية الخارجية المجاورة لها يكونان دائمًا متعامدين.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{42}$ سم

$AD = \sqrt{AB \times AC - BD \times DC} = \sqrt{96 - 54} = \sqrt{42}$ سم.

الإجابة الصحيحة: $12$

$BD : DC = 3 : 2$ و $BD + DC = 5$، إذن $DC = 2$. و $BE : EC = 3 : 2$ و $BE - EC = 5$، إذن $EC = 10$. فيكون $DE = DC + CE = 12$.

الإجابة الصحيحة: $XY \parallel BC$

$\frac{AX}{XB} = \frac{AD}{DB}$ و $\frac{AY}{YC} = \frac{AD}{DC}$، و $DB = DC$؛ فالنسبتان متساويتان، ومن عكس نظرية المستقيم الموازي يكون $XY \parallel BC$.

بما أن $\overline{AD}$ ينصف الزاوية $A$ داخليًا، فإن $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$. إذن $BD = \frac{3}{3+2} \times 10 = 6$ سم، و $DC = \frac{2}{3+2} \times 10 = 4$ سم.

في المثلث متساوي الساقين، تكون زوايا القاعدة متساوية. منصف الزاوية الخارجية عند الرأس يساوي في قياسه زاوية القاعدة، مما يجعل الزاوية المناظرة (بالتبادل أو التناظر) متساوية، وهذا يؤدي إلى توازي منصف الزاوية الخارجية مع القاعدة.

من النظرية: $\frac{BD}{DC} = \frac{12}{8} = 1.5$. إذن $BD = 1.5 DC$. وبما أن $BD = DC + 2$، فإن $1.5 DC = DC + 2 \Rightarrow 0.5 DC = 2 \Rightarrow DC = 4$ سم. إذن $BD = 6$ سم، و $BC = BD + DC = 6 + 4 = 10$ سم.

من نظرية منصف الزاوية الخارجية: $\frac{EB}{EC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{7}$. إذن $\frac{14}{EC} = \frac{5}{7} \Rightarrow 5 EC = 98 \Rightarrow EC = 19.6$ سم. بما أن $E$ تقع على امتداد $BC$، فإن $BC = EC - EB = 19.6 - 14 = 5.6$ سم.

المثلثان $ABD$ و $ACD$ لهما نفس الارتفاع الساقط من الرأس $A$ على القاعدة $BC$. النسبة بين مساحتيهما تساوي النسبة بين قاعدتيهما $BD$ و $DC$. وبما أن $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{15}{10} = 1.5$، فإن نسبة المساحات هي $3:2$.

مساحة $\triangle ABC = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \sin(120^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. مساحة $\triangle ABD + \triangle ACD = \text{مساحة } \triangle ABC$. $\frac{1}{2} \times 6 \times AD \times \sin(60^\circ) + \frac{1}{2} \times 4 \times AD \times \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \Rightarrow 3 \times AD \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \times AD \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \Rightarrow 2.5 \sqrt{3} \times AD = 6\sqrt{3} \Rightarrow AD = 2.4$ سم.