أسئلة: متطلبات قبلية في التفاضل والتكامل

الإجابة الصحيحة: $\sec^2x$

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ وبقاعدة القسمة $\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$.

الإجابة الصحيحة: $-\csc^2x$

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ وبقاعدة القسمة $\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=-\csc^2x$.

الإجابة الصحيحة: $\sec x\tan x$

$\sec x=(\cos x)^{-1}$ ومشتقتها $\sin x\,(\cos x)^{-2}=\sec x\tan x$.

الإجابة الصحيحة: $-\csc x\cot x$

$\csc x=(\sin x)^{-1}$ ومشتقتها $-\cos x\,(\sin x)^{-2}=-\csc x\cot x$.

الإجابة الصحيحة: $12x^2+5\csc^2x$

مشتقة $4x^3$ هي $12x^2$، ومشتقة $-5\cot x$ هي $-5(-\csc^2x)=5\csc^2x$.

الإجابة الصحيحة: $\sec x+x\sec x\tan x$

بقاعدة الضرب: $(x)'\sec x+x(\sec x)'=\sec x+x\sec x\tan x$.

الإجابة الصحيحة: $-3\csc3x\cot3x$

بقاعدة السلسلة: $-\csc3x\cot3x\times3$.

الإجابة الصحيحة: $2\tan x\sec^2x$

بقاعدة السلسلة: $2\tan x\times(\tan x)'=2\tan x\sec^2x$.

الإجابة الصحيحة: $2$

$y'=\sec^2x$ وعند $\frac{\pi}{4}$: $\sec^2\frac{\pi}{4}=\left(\sqrt{2}\right)^2=2$.

الإجابة الصحيحة: $\tan x+c$

لأن مشتقة $\tan x$ هي $\sec^2x$.

الإجابة الصحيحة: $-\cot x+c$

لأن مشتقة $-\cot x$ هي $\csc^2x$.

الإجابة الصحيحة: $\sec x+c$

لأن مشتقة $\sec x$ هي $\sec x\tan x$.

الإجابة الصحيحة: $-\csc x+c$

لأن مشتقة $-\csc x$ هي $\csc x\cot x$.

الإجابة الصحيحة: $3\tan x-2\sin x+c$

نكامل كل حد: $\int3\sec^2x\,dx=3\tan x$ و$\int-2\cos x\,dx=-2\sin x$.

الإجابة الصحيحة: $-\cot x+4x+c$

$\int\csc^2x\,dx=-\cot x$ و$\int4\,dx=4x$.

الإجابة الصحيحة: $\tan x-x+c$

$\tan^2x=\sec^2x-1$ فالتكامل $\tan x-x+c$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{1}{2}\cot2x+c$

مشتقة $-\cot2x$ هي $2\csc^22x$ فنقسم على $2$.

الإجابة الصحيحة: $\tan x$

مشتقة $\tan x$ هي $\sec^2x$.

الإجابة الصحيحة: $\cot x$ و$\csc x$

مشتقة $\cot x$ هي $-\csc^2x$ ومشتقة $\csc x$ هي $-\csc x\cot x$، بينما مشتقتا $\tan x$ و$\sec x$ موجبتان بصيغتيهما.

الإجابة الصحيحة: نطبّق قاعدة السلسلة فنضرب $\sec x^2\tan x^2$ في $2x$

$\frac{d}{dx}\sec u=\sec u\tan u\cdot u'$ مع $u=x^2$ و$u'=2x$.

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$. بقاعدة القسمة: $\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$.

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$. بقاعدة القسمة: $\frac{-\sin x\sin x-\cos x\cos x}{\sin^2x}=\frac{-1}{\sin^2x}=-\csc^2x$.

بقاعدة الضرب: $y'=1\cdot\sec x+x\cdot\sec x\tan x=\sec x\left(1+x\tan x\right)$.

نستخدم قاعدة السلسلة مع $\frac{d}{du}\csc u=-\csc u\cot u$ و$u=3x$ و$u'=3$: $y'=-3\csc3x\cot3x$.

النقطة $\left(\frac{\pi}{4},1\right)$ والميل $y'=\sec^2\frac{\pi}{4}=2$. المعادلة $y-1=2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ أي $y=2x+1-\frac{\pi}{2}$.

$\int3\sec^2x\,dx-\int2\cos x\,dx=3\tan x-2\sin x+c$. للتحقق: مشتقة الناتج $3\sec^2x-2\cos x$ وهي الدالة المطلوب تكاملها.

نستخدم المتطابقة $\tan^2x=\sec^2x-1$ فيكون التكامل $\int\left(\sec^2x-1\right)dx=\tan x-x+c$.

مشتقة $-\cot2x$ هي $2\csc^22x$. إذن $\int\csc^2(2x)\,dx=-\frac{1}{2}\cot2x+c$.

$\cot^2x=\csc^2x-1$ فالتكامل $\int\left(\csc^2x-1\right)dx=-\cot x-x+c$.

$\left(\tan x\right)'=\sec^2x$ فـ $\int\sec^2x\,dx=\tan x+c$. $\left(\cot x\right)'=-\csc^2x$ فـ $\int\csc^2x\,dx=-\cot x+c$. $\left(\sec x\right)'=\sec x\tan x$ فـ $\int\sec x\tan x\,dx=\sec x+c$. $\left(\csc x\right)'=-\csc x\cot x$ فـ $\int\csc x\cot x\,dx=-\csc x+c$.