أسئلة: تطبيقات على التكامل المحدد

الإجابة الصحيحة: أن تكون $f(x) \ge 0$ ومتصلة على $[a,b]$

هذا هو الشرط اللازم لتطبيق الصيغة $A=\int_a^b f(x)\,dx$ مباشرة دون تجزئة.

الإجابة الصحيحة: نُجزّئ التكامل عند أصفار الدالة ونأخذ القيمة المطلقة لتكامل الجزء الواقع أسفل المحور

لأن تكامل الجزء السالب من $f(x)$ يعطي قيمة سالبة لا تمثل مساحة، فنأخذ قيمته المطلقة بعد التجزئة عند الأصفار.

الإجابة الصحيحة: $\frac{32}{3}$

أصفار الدالة $x=0$ و$x=4$ والمنحنى أسفل المحور بينهما، فالمساحة $\left|\int_0^4(x^2-4x)dx\right|=\left|\frac{64}{3}-32\right|=\frac{32}{3}$.

الإجابة الصحيحة: نجزّئ التكامل عند أصفار الدالة ونأخذ القيمة المطلقة لتكامل الجزء السالب

التكامل على الجزء السالب ناتجه سالب، والمساحة غير سالبة، فنأخذ قيمته المطلقة بعد التجزئة عند الأصفار.

الإجابة الصحيحة: $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$

الحجم مجموع أحجام أقراص رقيقة نصف قطر كلٍّ منها $f(x)$ وسمكه $dx$، فيكون $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$.

الإجابة الصحيحة: مربع قيمة الدالة $f(x)$، وليس $f(x^2)$

$[f(x)]^2$ تعني تربيع قيمة الدالة، فإذا كانت $f(x) = x+1$ مثلًا فإن $[f(x)]^2 = (x+1)^2$، بينما $f(x^2) = x^2 + 1$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{4}{3}\pi r^3$

$V=\pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2)dx=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=\frac{4}{3}\pi r^3$.

الإجابة الصحيحة: $9$

$A=\int_0^3 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{27}{3}-0=9$.

الإجابة الصحيحة: $9$

$\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9$.

الإجابة الصحيحة: $x=-2$ و$x=0$ و$x=2$

$x^3-4x=x(x-2)(x+2)=0$.

الإجابة الصحيحة: سالبة، فالمنحنى أسفل محور السينات

عند $x=1$ مثلًا $f(1)=1-4=-3<0$ ولا تتغير الإشارة بين صفرين متتاليين.

الإجابة الصحيحة: $\frac{57}{4}$

نجزّئ عند الأصفار: $4$ على $[-2,0]$ و$4$ على $[0,2]$ (بالقيمة المطلقة) و$\frac{25}{4}$ على $[2,3]$، والمجموع $\frac{57}{4}$.

الإجابة الصحيحة: $x=2$ و$x=-2$

$4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{32}{3}$

$A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=\frac{16}{3}+\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $8\pi$

$V=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi\cdot 8=8\pi$.

الإجابة الصحيحة: $x$

$[\sqrt{x}]^2=x$.

الإجابة الصحيحة: مخروطًا

دوران المستقيم $y=x$ حول محور $x$ من $0$ إلى $2$ يعطي مخروطًا نصف قطر قاعدته $2$ وارتفاعه $2$، وحجمه $\pi\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8\pi}{3}$، وهو يطابق $\frac{1}{3}\pi r^2 h$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{8\pi}{3}$

$V=\pi\int_0^2 x^2\,dx=\pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8\pi}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{\pi}{2}(e^2-1)$

$V=\pi\int_0^1e^{2x}dx=\pi\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1=\frac{\pi}{2}(e^2-1)$.

الإجابة الصحيحة: غير سالبتين

المساحة والحجم مقداران هندسيان لا يكونان سالبين، لذلك نجزئ التكامل أو نأخذ القيمة المطلقة عند الحاجة.

الإجابة الصحيحة: $28800$ جنيه

المساحة $\int_{-3}^{3}(9-x^2)dx=\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{3}=36$ م²، والتكلفة $36\times800=28800$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{11}{4}$

أصفار الدالة $-1,0,1$. المساحة على $[-1,0]$ تساوي $\frac{1}{4}$ وعلى $[0,1]$ تساوي $\frac{1}{4}$ (بالقيمة المطلقة) وعلى $[1,2]$ تساوي $\frac{9}{4}$، والمجموع $\frac{11}{4}$.

الإجابة الصحيحة: $21\pi$

$V=\pi\int_0^3(x+1)^2dx=\pi\left[\frac{(x+1)^3}{3}\right]_0^3=\pi\cdot\frac{64-1}{3}=21\pi$.

إذا كانت $f(x) \ge 0$ ومتصلة على $[a,b]$ فإن مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى ومحور $x$ من $x=a$ إلى $x=b$ تُحسب بالصيغة $A=\int_a^b f(x)\,dx$. أما إذا كان جزء من المنحنى يقع أسفل محور $x$ (أي $f(x)<0$ في جزء من الفترة)، فإن قيمة التكامل على ذلك الجزء تكون سالبة ولا تمثل مساحة فعلية بإشارتها. لذلك نُجزّئ الفترة $[a,b]$ عند أصفار الدالة (نقاط تقاطع المنحنى مع محور $x$)، ثم نأخذ القيمة المطلقة لتكامل كل جزء يقع أسفل المحور، ونجمع القيم المطلقة لجميع الأجزاء للحصول على المساحة الكلية الصحيحة.

بما أن $y=x^2 \ge 0$ على $[0,3]$، فإن المساحة تُحسب مباشرة بالصيغة: $A=\int_0^3 x^2\,dx$ بإيجاد تكامل $x^2$: $A=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3$ بالتعويض بحدَّي التكامل: $A=\frac{3^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{27}{3}-0=9$ إذن مساحة المنطقة المطلوبة تساوي $9$ وحدة مربعة.

أصفار الدالة: $x(x-4)=0$ أي $x=0$ و$x=4$، والدالة سالبة على $]0,4[$ فالمنحنى أسفل المحور. $\int_0^4(x^2-4x)dx=\left[\frac{x^3}{3}-2x^2\right]_0^4=\frac{64}{3}-32=-\frac{32}{3}$. والمساحة لا تكون سالبة فهي $\frac{32}{3}$ وحدة مربعة.

نوجد أصفار الدالة بحل $4-x^2=0$: $x^2=4 \Rightarrow x=2$ أو $x=-2$ والدالة موجبة بين $x=-2$ و$x=2$ (لأن القطع المكافئ $y=4-x^2$ مفتوح لأسفل وقمته عند $y=4$)، فتكون حدود التكامل $a=-2$ و$b=2$. تكون المساحة: $A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}$ بالتعويض عند $x=2$: $8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$ وعند $x=-2$: $-8+\frac{8}{3}=-\frac{16}{3}$ إذن: $A=\frac{16}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{16}{3}+\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$ فمساحة المنطقة المطلوبة تساوي $\frac{32}{3}$ وحدة مربعة.

باستخدام صيغة حجم الدوران حول محور $x$: $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ هنا $f(x)=\sqrt{x}$، فإن $[f(x)]^2=x$، وحدود التكامل من $0$ إلى $4$: $V=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi\left(\frac{16}{2}-0\right)=\pi\cdot 8=8\pi$ إذن حجم الجسم الناتج يساوي $8\pi$ وحدة مكعبة.

هنا $f(x)=x$، ومربعها $[f(x)]^2=x^2$، فتكون: $V=\pi\int_0^2 x^2\,dx=\pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\pi\left(\frac{8}{3}-0\right)=\frac{8\pi}{3}$ إذن حجم المخروط الناتج يساوي $\frac{8\pi}{3}$ وحدة مكعبة.

$A=\int_a^b|f(x)|dx$. فإذا كانت $f\ge0$ على الفترة فـ $A=\int_a^bf\,dx$، وإذا كانت $f\le0$ فـ $A=-\int_a^bf\,dx$. وإذا تغيرت الإشارة داخل الفترة نجزّئ التكامل عند أصفار $f$ ونجمع القيم المطلقة لتكاملات الأجزاء.

$V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$. الأسطوانة تنشأ من دوران المنطقة تحت $y=r$ من $x=0$ إلى $x=h$: $V=\pi\int_0^hr^2dx=\pi r^2h$.

في صيغة حجم الدوران $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$، فإن الرمز $[f(x)]^2$ يعني حساب قيمة الدالة $f(x)$ أولًا ثم تربيع تلك القيمة الناتجة. أما $f(x^2)$ فيعني شيئًا مختلفًا تمامًا: تعويض $x^2$ داخل الدالة $f$ نفسها بدلًا من $x$. فمثلًا إذا كانت $f(x)=\sqrt{x}$، فإن $[f(x)]^2=(\sqrt{x})^2=x$، بينما $f(x^2)=\sqrt{x^2}=|x|$، وهما تعبيران مختلفان. الخطأ الشائع هو الخلط بينهما عند حساب $[f(x)]^2$ في مسائل الحجم، وهو ما تنبّه إليه ملاحظات الدرس صراحة.

1) نرسم المنطقة أو نتخيلها. 2) نوجد أصفار الدالة داخل الفترة. 3) نحدد إشارة الدالة في كل جزء. 4) نكتب $A=\int|f|dx$ مجزأً عند الأصفار ونحسب كل جزء. 5) نجمع القيم غير السالبة ونكتب الوحدات المربعة.

تنشأ الكرة من دوران المنطقة تحت $y=\sqrt{r^2-x^2}$ من $x=-r$ إلى $x=r$. $V=\pi\int_{-r}^{r}\left(r^2-x^2\right)dx=2\pi\left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^r=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=\frac{4}{3}\pi r^3$ (والدالة زوجية فضاعفنا التكامل من $0$ إلى $r$).

أصفار الدالة $x(x-2)(x+2)=0$ هي $-2,0,2$. على $[-2,0]$ الدالة موجبة: $\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^{0}=4$. على $[0,2]$ سالبة: $\left|\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_0^2\right|=|-4|=4$. على $[2,3]$ موجبة: $\left(\frac{81}{4}-18\right)-(4-8)=\frac{25}{4}$. المساحة $4+4+\frac{25}{4}=\frac{57}{4}$ وحدة مربعة.

أصفار الدالة $x=\pm2$ والمنحنى فوق المحور بينهما. المساحة $\int_{-2}^{2}(4-x^2)dx=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}=\frac{32}{3}$ م². التكلفة $\frac{32}{3}\times50=\frac{1600}{3}\approx533.3$ جنيهًا.