أسئلة: الجذور التكعيبية للواحد الصحيح

الإجابة الصحيحة: $1$

بما أن $\omega$ جذر للمعادلة $z^3 = 1$، فإنه يحقّقها مباشرة، أي $\omega^3 = 1$.

الإجابة الصحيحة: $0$

مجموع جذور المعادلة $z^3 - 1 = 0$ يساوي صفرًا لانعدام معامل $z^2$ فيها، ومنه $1 + \omega + \omega^2 = 0$.

الإجابة الصحيحة: $z^3 = 1$

الدرس يبحث عن حلول المعادلة $z^3 = 1$ بكتابة $1$ في الصورة المثلثية وتطبيق صيغة الجذور النونية عليها.

الإجابة الصحيحة: ثلاثة

الجذور هي $z_0, z_1, z_2$ الناتجة من $k = 0, 1, 2$ في صيغة الجذور النونية، أي $1,\ \omega,\ \omega^2$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

عند $k = 1$: $z_1 = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = \omega$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

عند $k = 2$: $z_2 = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \omega^2$.

الإجابة الصحيحة: $1$

$\omega \times \omega^2 = \omega^3 = 1$.

الإجابة الصحيحة: $\omega^2 = \overline{\omega}$

الجذران المركّبان $\omega$ و$\omega^2$ مترافقان، أي $\omega^2 = \overline{\omega}$.

الإجابة الصحيحة: $\omega$

قاعدة الاختزال: $\omega^{3k} = 1$، و$\omega^{3k+1} = \omega$، و$\omega^{3k+2} = \omega^2$.

الإجابة الصحيحة: $\omega^2$

من قاعدة اختزال الأُس بأخذ باقي قسمة الأُس على 3، الباقي 2 يقابل $\omega^2$.

الإجابة الصحيحة: $1$

بما أن $\omega^3 = 1$، فإن $\omega^{3k} = (\omega^3)^k = 1^k = 1$.

الإجابة الصحيحة: $\omega$

$7 = 3(2) + 1$، ومن قاعدة الاختزال $\omega^{3k+1} = \omega$، إذن $\omega^7 = \omega$.

الإجابة الصحيحة: $\omega^2$

$8 = 3(2) + 2$، ومن قاعدة الاختزال $\omega^{3k+2} = \omega^2$، إذن $\omega^8 = \omega^2$.

الإجابة الصحيحة: $-\omega^2$

من $1 + \omega + \omega^2 = 0$ ينتج مباشرة أن $1 + \omega = -\omega^2$.

الإجابة الصحيحة: $-\omega$

من $1 + \omega + \omega^2 = 0$ ينتج أن $1 + \omega^2 = -\omega$.

الإجابة الصحيحة: $-1$

من $1 + \omega + \omega^2 = 0$ ينتج أن $\omega + \omega^2 = -1$.

الإجابة الصحيحة: $(z - 1)(z^2 + z + 1)$

$z^3 - 1 = (z - 1)(z - \omega)(z - \omega^2) = (z - 1)(z^2 + z + 1)$.

الإجابة الصحيحة: $(z + 1)(z^2 - z + 1)$

بالمثل مع $z^3 - 1$: $z^3 + 1 = (z + 1)(z + \omega)(z + \omega^2) = (z + 1)(z^2 - z + 1)$.

الإجابة الصحيحة: $0$

$\omega^4 = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega$، فيصبح المقدار $\omega + \omega^2 + 1 = 0$.

الإجابة الصحيحة: $-8$

بما أن $1 + \omega = -\omega^2$، فإن $1 + \omega - \omega^2 = -2\omega^2$، ومنه $(-2\omega^2)^3 = -8\omega^6 = -8(\omega^3)^2 = -8$.

الإجابة الصحيحة: $\omega^2$

$2024 = 3\times 674 + 2$ فالباقي $2$ وبالتالي $\omega^{2024} = \omega^2$.

الإجابة الصحيحة: $1$

$(1+\omega)(1+\omega^2) = 1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 = 0 + 1 = 1$.

الإجابة الصحيحة: $z^2 + 3 = 0$

المجموع $2 + 2(\omega+\omega^2) = 0$ والحاصل $1 + 2(\omega+\omega^2) + 4\omega^3 = 3$، فالمعادلة $z^2 + 3 = 0$.

الإجابة الصحيحة: $\omega^2 = \dfrac{1}{\omega}$

لأن $\omega^3 = 1$ فإن $\omega\cdot\omega^2 = 1$ أي $\omega^2 = \frac{1}{\omega}$، أما $\omega^2 = -\omega$ فخاطئة لأنها تعني $\omega = -1$ أو $0$.

نبحث عن حلول $z^3 = 1$. نكتب $1$ في الصورة المثلثية: $1 = \cos 0 + i\sin 0$. بتطبيق صيغة الجذور النونية مع $n = 3$: $z_k = \cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}$ حيث $k = 0, 1, 2$. عند $k=0$: $z_0 = \cos 0 + i\sin 0 = 1$. عند $k=1$: $z_1 = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$، ونرمز له بـ$\omega$. عند $k=2$: $z_2 = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \omega^2$. إذن الجذور الثلاثة هي $1,\ \omega,\ \omega^2$، وهي تقع على دائرة الوحدة وتقسمها إلى ثلاثة أقواس متساوية.

الجذور $1, \omega, \omega^2$ هي جذور المعادلة $z^3 - 1 = 0$. بما أن معامل $z^2$ في هذه المعادلة يساوي صفرًا، فإن مجموع جذورها يساوي صفرًا، أي $1 + \omega + \omega^2 = 0$. بترتيب هذه العلاقة نستنتج: $\omega + \omega^2 = -1$ (بطرح $1$ من الطرفين)، و$1 + \omega = -\omega^2$ (بطرح $\omega^2$ من الطرفين). وبالمثل يمكن استنتاج $1 + \omega^2 = -\omega$.

بالصورة الجبرية: $\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ و$\omega^2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$. الجزء الحقيقي في العددين متساوٍ ($-\frac{1}{2}$) بينما الجزء التخيلي متساوٍ في المقدار ومختلف في الإشارة، وهذا هو تعريف العددين المترافقين، إذن $\omega^2 = \overline{\omega}$ (وبالمثل $\omega = \overline{\omega^2}$). أما حاصل الضرب: بما أن $\omega$ جذر للمعادلة $z^3 = 1$ فإن $\omega^3 = 1$، ويمكن كتابة $\omega \cdot \omega^2 = \omega^{1+2} = \omega^3 = 1$.

بما أن $\omega^3 = 1$، فإن أيّ قوة لـ$\omega$ تُختزل بقسمة الأُس على $3$ وأخذ الباقي: إذا كان الأُس $3k$ فالناتج $1$، وإذا كان $3k+1$ فالناتج $\omega$، وإذا كان $3k+2$ فالناتج $\omega^2$. لتبسيط $\omega^{10}$: نقسم $10$ على $3$ فنجد $10 = 3(3) + 1$، أي الباقي $1$، ومن ثم $\omega^{10} = \omega^{9} \times \omega = (\omega^3)^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega$.

بما أن $1, \omega, \omega^2$ هي الجذور الثلاثة لـ$z^3 = 1$، فإن $z^3 - 1 = (z - 1)(z - \omega)(z - \omega^2)$. ومن العلاقة $1 + \omega + \omega^2 = 0$ ينتج أن $\omega, \omega^2$ جذران للمقدار $z^2 + z + 1$، فيصبح التحليل: $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$. وبالمثل، جذور $z^3 = -1$ هي $-1, -\omega, -\omega^2$، فإن $z^3 + 1 = (z + 1)(z + \omega)(z + \omega^2) = (z + 1)(z^2 - z + 1)$.

نبدأ باختزال الأُس الأكبر: $\omega^4 = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega$ (لأن $\omega^3 = 1$). بالتعويض في المقدار المطلوب: $\omega^4 + \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1$. ومن الخاصية الأساسية $1 + \omega + \omega^2 = 0$، فإن $\omega + \omega^2 + 1 = 0$. إذن $\omega^4 + \omega^2 + 1 = 0$ كما هو مطلوب إثباته.

بما أن $1 + \omega = -\omega^2$ (من الخاصية $1 + \omega + \omega^2 = 0$)، فإن: $1 + \omega - \omega^2 = -\omega^2 - \omega^2 = -2\omega^2$. إذن: $(1 + \omega - \omega^2)^3 = (-2\omega^2)^3 = -8\,\omega^6$. وبما أن $\omega^6 = (\omega^3)^2 = 1^2 = 1$، فإن الناتج النهائي: $(1 + \omega - \omega^2)^3 = -8 \times 1 = -8$.

نبسّط كل عامل على حدة باستخدام $1 + \omega + \omega^2 = 0$. للعامل الأول: بما أن $1 + \omega^2 = -\omega$، فإن $1 - \omega + \omega^2 = -\omega - \omega = -2\omega$. للعامل الثاني: بما أن $1 + \omega = -\omega^2$، فإن $1 + \omega - \omega^2 = -\omega^2 - \omega^2 = -2\omega^2$. بضرب العاملين: $(1 - \omega + \omega^2)(1 + \omega - \omega^2) = (-2\omega)(-2\omega^2) = 4\,\omega^3$. وبما أن $\omega^3 = 1$، فإن الناتج النهائي يساوي $4$.

من الخاصية الأساسية $1 + \omega + \omega^2 = 0$ نجد أن $\omega$ يحقق المعادلة $z^2 + z + 1 = 0$ عند تعويضه (لأنها نفس العلاقة بعد إعادة الترتيب: $\omega^2 + \omega + 1 = 0$)، وبالمثل يحقق $\omega^2$ نفس المعادلة. إذن $\omega, \omega^2$ جذران للمقدار $z^2 + z + 1$. وبما أن هذا المقدار من الدرجة الثانية وله هذان الجذران بالضبط، فإنه يُكتب في صورة حاصل ضرب عاملين خطيين: $z^2 + z + 1 = (z - \omega)(z - \omega^2)$.

أولًا: $\omega^3 = 1$، لأن $\omega$ جذر للمعادلة $z^3 = 1$، ومنه $\omega^{3k} = 1$ لأي عدد صحيح $k$. ثانيًا: $1 + \omega + \omega^2 = 0$، لأن مجموع جذور المعادلة $z^3 - 1 = 0$ يساوي صفرًا لانعدام معامل $z^2$ فيها؛ ومن هذه العلاقة تُستنتج نتائج مثل $1 + \omega = -\omega^2$ و$\omega + \omega^2 = -1$. ثالثًا: $\omega^2 = \overline{\omega}$، أي أن الجذرين المركّبين مترافقان، وحاصل ضربهما $\omega \cdot \omega^2 = \omega^3 = 1$.

$\omega^7 = \omega^{6}\cdot\omega = \omega$ و$\omega^5 = \omega^3\cdot\omega^2 = \omega^2$ فالتعويض يعطي $\omega + \omega^2 + 1 = 0$ وهذا يثبت أن $\omega$ جذر للمعادلة. وبما أن $1 + \omega^2 = -\omega$ فإن $(1+\omega^2)^4 = (-\omega)^4 = \omega^4 = \omega^3\cdot\omega = \omega$.