أسئلة: بعض خواص الدوال

الإجابة الصحيحة: $f(x)=x^2+4$

عند التعويض بـ$-x$ نحصل على $(-x)^2+4=x^2+4=f(x)$.

الإجابة الصحيحة: فردية

لدينا $g(-x)=-x^5+2x=-(x^5-2x)=-g(x)$.

الإجابة الصحيحة: $2$ و$3$

نحلل $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$، فيساوي الصفر عند $x=2$ أو $x=3$.

الإجابة الصحيحة: نقطة الأصل

شرط الدالة الفردية $f(-x)=-f(x)$ يجعل النقطتين $(x,y)$ و$(-x,-y)$ متناظرتين حول نقطة الأصل.

الإجابة الصحيحة: $(-1,2)$

بين الصفرين $-1$ و$2$ يكون أحد العاملين موجبًا والآخر سالبًا، فيكون حاصل الضرب سالبًا.

الإجابة الصحيحة: $f(x)=\sin x$

$\sin(-x)=-\sin x$.

الإجابة الصحيحة: محور الصادات

$f(-x)=f(x)$ يعني أن النقطتين $(x,y)$ و$(-x,y)$ على المنحنى.

الإجابة الصحيحة: فردية

حاصل ضرب دالة زوجية ($x^2$) في دالة فردية ($\sin x$) دالة فردية.

الإجابة الصحيحة: زوجية

حاصل ضرب دالتين فرديتين دالة زوجية.

الإجابة الصحيحة: ليست زوجية ولا فردية

$f(-x)=-x^3+x^2$ لا تساوي $f(x)$ ولا $-f(x)$.

الإجابة الصحيحة: مجالها غير متماثل حول الصفر

المجال $[0,\infty)$ فلا يحتوي $-x$ لكل $x$ موجبة، فلا يمكن اختبار الشرطين.

الإجابة الصحيحة: $f(x)=x^3$

$x^3$ تزايدية على $\mathbb{R}$ فلا يتكرر فيها ناتج.

الإجابة الصحيحة: أحادية

إذا قطع كل مستقيم أفقي المنحنى مرة واحدة على الأكثر كانت الدالة أحادية.

الإجابة الصحيحة: $f(-2)=f(2)$

مدخلان مختلفان أعطيا الناتج نفسه وهو 0.

الإجابة الصحيحة: $\{3\}$

البسط ينعدم عند $\pm3$، لكن $-3$ خارج المجال لأنها تجعل المقام صفرًا.

نعوض بـ$-x$: $f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+2=x^4-3x^2+2=f(x)$. إذن الدالة زوجية، ومنحناها متماثل حول محور الصادات.

صفرا الدالة هما $-2$ و$4$. تكون الدالة موجبة على $(-\infty,-2)\cup(4,\infty)$، وسالبة على $(-2,4)$، وتساوي صفرًا عند $x=-2$ و$x=4$؛ ويتحقق ذلك باختبار قيمة من كل فترة.

نفرض $f(a)=f(b)$: $\frac{3a-1}{2}=\frac{3b-1}{2}$، فإن $3a-1=3b-1$، ومنها $3a=3b$ و$a=b$. إذن $f$ دالة أحادية.

$f$: حاصل ضرب زوجيتين فهي زوجية. $g$: مجموع فرديتين فهي فردية. $h$: مجموع فردية وزوجية غير صفريتين، و$h(-x)=-x+\cos x$ لا تساوي $h(x)$ ولا $-h(x)$، فهي ليست زوجية ولا فردية.