أسئلة: أساسيات الهندسة الإحداثية

الإجابة الصحيحة: $5$

باستخدام قانون المسافة: $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

الإجابة الصحيحة: $(4,6)$

إحداثيات المنتصف هي المتوسط الحسابي: $M = (\frac{2+6}{2}, \frac{4+8}{2}) = (4, 6)$.

الإجابة الصحيحة: $10$

$\frac{-na + mb}{m - n} = \frac{-1(-2) + 3(6)}{3 - 1} = \frac{20}{2} = 10$. تحقق: $AQ = 12$ و $QB = 4$، والنسبة $3 : 1$.

الإجابة الصحيحة: الثاني

الإحداثي السيني سالب والصادي موجب $(-, +)$، فهي في الربع الثاني.

الإجابة الصحيحة: $(2,2)$

باستخدام صيغة التقسيم: $E = (\frac{1(6)+2(0)}{1+2}, \frac{1(6)+2(0)}{1+2}) = (\frac{6}{3}, \frac{6}{3}) = (2, 2)$.

الإجابة الصحيحة: $(-2, 7)$

التماثل حول نقطة الأصل يغيّر إشارتي الإحداثيين معًا: $(-2, 7)$.

الإجابة الصحيحة: $5$

$d = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (-5 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5$.

الإجابة الصحيحة: $(5,1)$

$M = (\frac{0+10}{2}, \frac{5-3}{2}) = (5, 1)$.

الإجابة الصحيحة: $(3, 3)$

$G = \left(\frac{0 + 6 + 3}{3}, \frac{0 + 0 + 9}{3}\right) = (3, 3)$.

الإجابة الصحيحة: نقطة منتصف

التقسيم بنسبة $1:1$ يعني أن النقطة تقع في منتصف المسافة تماماً بين الطرفين.

الإجابة الصحيحة: $(3, 8)$

$P$ منتصف $AB$: $\frac{1 + s}{2} = 2$ أي $s = 3$، و $\frac{-2 + t}{2} = 3$ أي $t = 8$. إذن $B(3, 8)$.

الإجابة الصحيحة: $3$

$d = \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3$.

الإجابة الصحيحة: $(2, 0)$

نفرضها $(s, 0)$: $(s + 2)^2 + 1 = (s - 3)^2 + 16$، أي $4s + 5 = -6s + 25$، فيكون $10s = 20$ و $s = 2$.

الإجابة الصحيحة: $(7, 8)$

$\left(\frac{-1(1) + 2(4)}{2 - 1}, \frac{-1(2) + 2(5)}{2 - 1}\right) = (7, 8)$. أما $(3, 4)$ فهي نقطة التقسيم من الداخل بالنسبة نفسها.

الإجابة الصحيحة: تقع على امتداد القطعة ويشترط $m \ne n$

نقطة التقسيم من الخارج تقع على امتداد القطعة، ومقام قانونها $m - n$ فلا بد أن يكون $m \ne n$.

نستخدم قانون المسافة: $d = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

إحداثيات المنتصف $M = (\frac{-2+4}{2}, \frac{4+2}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{6}{2}) = (1, 3)$.

من الداخل: $P = \left(\frac{1(-2) + 2(4)}{3}, \frac{1(1) + 2(7)}{3}\right) = (2, 5)$. من الخارج: $Q = \left(\frac{-1(-2) + 2(4)}{2 - 1}, \frac{-1(1) + 2(7)}{2 - 1}\right) = (10, 13)$.

باستخدام صيغة التقسيم: $E_x = \frac{2(5)+3(0)}{2+3} = \frac{10}{5} = 2$ و $E_y = \frac{2(10)+3(0)}{2+3} = \frac{20}{5} = 4$. إذن $E=(2, 4)$.

نفرض $Q(s, s + 1)$. من $AQ^2 = BQ^2$: $s^2 + (s - 1)^2 = (s - 4)^2 + (s + 1)^2$، أي $2s^2 - 2s + 1 = 2s^2 - 6s + 17$، فيكون $4s = 16$ و $s = 4$، والنقطة $Q(4, 5)$. تحقق: $AQ^2 = 16 + 9 = 25$ و $BQ^2 = 0 + 25 = 25$.

نطبق قانون المنتصف: $M = (\frac{1+5}{2}, \frac{1+5}{2}) = (\frac{6}{2}, \frac{6}{2}) = (3, 3)$. بما أن الناتج يطابق إحداثيات $M$ المعطاة، فهي نقطة المنتصف.