أهداف التعلم

• أن تعرّف المتمم وتوضح استخدامه في تمثيل الأعداد السالبة.
• أن توجد المتمم للتسعة والمتمم للعشرة لعدد عشري.
• أن توجد المتمم للأحاد والمتمم للاثنين لعدد ثنائي.
• أن تجري عملية الطرح بالجمع مع المتمم في النظامين.

شرح الدرس

ما المتمم؟

المتمم (المكمل) هو أصغر عدد إذا أُضيف إلى عدد معين نتج ترحيل (حمل) إلى الخانة الأعلى التالية. ويستخدم الحاسوب المتممات لتمثيل الأعداد السالبة.

المتممات في النظام العشري

• المتمم للتسعة: نطرح كل رقم من $9$.
• المتمم للعشرة: نضيف $1$ إلى المتمم للتسعة.

مثال: المتمم للعشرة للعدد $635$:

• المتمم للتسعة: $9 - 6 = 3$، $9 - 3 = 6$، $9 - 5 = 4$، أي $364$.
• المتمم للعشرة: $364 + 1 = 365$.

تحقق: $635 + 365 = 1000$؛ أي ينتج ترحيل إلى خانة جديدة. وبالمثل المتمم للعشرة للعدد $71$ هو $29$ لأن $71 + 29 = 100$.

المتممات في النظام الثنائي

• المتمم للأحاد (One’s complement): نقلب كل بت: $0 \to 1$ و $1 \to 0$.
• المتمم للاثنين (Two’s complement): نضيف $1$ إلى المتمم للأحاد.

مثال: المتمم للاثنين للعدد $(0101)_2$:

• المتمم للأحاد: $0101 \to 1010$.
• المتمم للاثنين: $1010 + 0001 = 1011$.

تحقق: $0101 + 1011 = 10000$؛ ترحيل إلى خانة جديدة.

الطرح بالجمع مع المتمم

يطرح الحاسوب بإجراء جمع مع المتمم في ثلاث خطوات:

1. أوجد المتمم للمطروح (العدد الذي نطرحه).
2. اجمع المطروح منه مع هذا المتمم.
3. تجاهل الرقم الزائد في أقصى اليسار، فيكون الباقي هو الناتج.

مثال في العشري: $8 - 6$

1. المتمم للعشرة للعدد $6$ هو $4$.
2. $8 + 4 = 12$.
3. نتجاهل الرقم الزائد $1$ فيكون الناتج $2$.

مثال في الثنائي: $(1000)_2 - (0111)_2$

1. المتمم للاثنين للعدد $0111$: نقلب البتات $1000$ ثم نضيف $1$ فنحصل على $1001$.
2. $1000 + 1001 = 10001$.
3. نتجاهل الرقم الزائد فيكون الناتج $(0001)_2$.

تحقق: $8 - 7 = 1$.

أسئلة للتدريب

1. أوجد المتمم للتسعة والمتمم للعشرة للعدد $482$.
2. أوجد المتمم للأحاد والمتمم للاثنين للعدد $(1100)_2$.
3. أوجد $9 - 4$ باستخدام المتمم للعشرة.
4. أوجد $(1001)_2 - (0100)_2$ باستخدام المتمم للاثنين.
5. لماذا يستخدم الحاسوب الطرح بالمتممات؟