أسئلة: القياس الستيني والقياس الدائري لزاوية

الإجابة الصحيحة: $\pi$ راديان

للتحويل من درجات إلى راديان، نضرب الزاوية في $\frac{\pi}{180^\circ}$: $180^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \pi$ راديان.

الإجابة الصحيحة: 60 دقيقة

تُقسَّم الدرجة الواحدة في النظام الستيني إلى وحدات أصغر وهي الدقيقة، حيث تساوي الدرجة 60 دقيقة.

الإجابة الصحيحة: $2\pi$

بما أن محيط الدائرة الكاملة يساوي $2\pi r$، فإن قياس الدورة الكاملة بالراديان يساوي $2\pi$ راديان.

الإجابة الصحيحة: $\frac{\pi}{6}$ راديان

$30^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{30}{180}\pi = \frac{\pi}{6}$ راديان.

الإجابة الصحيحة: $135^\circ$

للتحويل إلى درجات نضرب في $\frac{180^\circ}{\pi}$: $\frac{3\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 3 \times 45^\circ = 135^\circ$.

الإجابة الصحيحة: زاوية مركزية يقابلها قوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة

يُعرَّف الراديان الواحد بأنه قياس الزاوية المركزية التي يقابلها قوس طوله يساوي طول نصف قطر الدائرة نفسها.

الإجابة الصحيحة: $180^\circ = \pi$ راديان

العلاقة الأساسية المبنية عليها التحويلات هي أن الدورة الكاملة $360^\circ$ تعادل $2\pi$ راديان، وبالتالي فإن $180^\circ = \pi$ راديان.

الإجابة الصحيحة: $\frac{3\pi}{2}$ راديان

$270^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{270}{180}\pi = \frac{3}{2}\pi$ راديان.

الإجابة الصحيحة: $3\pi$ راديان

دورة كاملة تعادل $2\pi$، ونصف دورة تعادل $\pi$، إذن المجموع = $2\pi + \pi = 3\pi$ راديان.

الإجابة الصحيحة: $30^\circ$

للتحويل إلى درجات نضرب في $\frac{180^\circ}{\pi}$: $\frac{\pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$.

الإجابة الصحيحة: الدرجة

النظام الستيني يقيس الزاوية بوحدة الدرجة، وتقسم إلى دقائق وثوانٍ.

الإجابة الصحيحة: $45^\circ$

$\frac{\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.

الإجابة الصحيحة: $2\pi$ سم

طول القوس $l = \theta^{rad} \times r = \frac{\pi}{5} \times 10 = 2\pi$ سم.

الإجابة الصحيحة: $57^\circ\, 17'\, 45''$

$1^{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.2958^\circ \approx 57^\circ\, 17'\, 45''$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{18}{\pi}$ سم

$r = \frac{l}{\theta^{rad}} = \frac{12}{2\pi/3} = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi}$ سم.

للتحويل من القياس الستيني إلى القياس الدائري، نضرب عدد الدرجات في المعامل $\frac{\pi}{180^\circ}$. التطبيق: $150^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{150}{180} \pi$. بتبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على 30: $\frac{150 \div 30}{180 \div 30} \pi = \frac{5}{6}\pi$ راديان.

للتحويل من القياس الدائري إلى القياس الستيني، نضرب عدد الراديانات في المعامل $\frac{180^\circ}{\pi}$. التطبيق: $\frac{5\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi}$. تختصر $\pi$ مع $\pi$: $= \frac{5 \times 180^\circ}{3}$. نحسب الناتج بقسمة 180 على 3 ليكون الناتج 60: $= 5 \times 60^\circ = 300^\circ$.

1. القياس الستيني: يقيس الزاوية بوحدة 'الدرجة'، حيث تُقسَّم الدائرة الكاملة إلى 360 درجة، وتُقسَّم الدرجة إلى 60 دقيقة والدقيقة إلى 60 ثانية. 2. القياس الدائري (الراديان): يقيس الزاوية بدلالة نسبة طول القوس المقابل للزاوية المركزية إلى نصف قطر الدائرة، حيث يُعرَّف الراديان بأنه قياس زاوية يقابلها قوس طوله يساوي نصف القطر، والدورة الكاملة فيه تساوي $2\pi$ راديان.

- في القياس الستيني، قياس الدورة الكاملة للدائرة يساوي $360^\circ$. - في القياس الدائري، بما أن محيط الدائرة هو $2\pi r$، فإن عدد أنصاف الأقطار في المحيط الكامل يساوي $2\pi$ راديان. - وبما أن القياسين يعبران عن نفس الدورة الكاملة، إذن: $360^\circ = 2\pi \text{ راديان}$ وبقسمة الطرفين على 2 نحصل على العلاقة الأساسية: $180^\circ = \pi \text{ راديان}$.

1. للتحويل من درجات إلى راديان: $450^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{450}{180} \pi$. بقسمة البسط والمقام على 90: $= \frac{5}{2}\pi \text{ راديان}$. 2. للتحقق بالاتجاه العكسي (من راديان إلى درجات): $\frac{5}{2}\pi \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \times 180^\circ}{2} = 5 \times 90^\circ = 450^\circ$. الناتج صحيح ومتحقق منه.

- زاوية قياسها $1$ راديان تحول إلى الستيني كالتالي: $1 \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{3.14159...} \approx 57.3^\circ$. - أما زاوية القياس الستيني فهي $1^\circ$ فقط. - إذن، زاوية الـ $1$ راديان أكبر بكثير من زاوية الـ $1^\circ$ (حيث تعادل تقريبًا $57.3$ ضعفها).