أسئلة: الدوال المثلثية

الإجابة الصحيحة: $\sin\theta$

في دائرة الوحدة، إحداثي $y$ لنقطة تقاطع الضلع النهائي للزاوية مع الدائرة يساوي جيب الزاوية $\sin\theta$.

الإجابة الصحيحة: الربع الثاني

في الربع الثاني، يكون إحداثي $x$ سالباً ($<0$) وإحداثي $y$ موجباً ($>0$).

الإجابة الصحيحة: $1$

تعد هذه متطابقة فيثاغورس الأساسية المستنتجة من معادلة دائرة الوحدة $x^2+y^2=1$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{3}{4}$

بما أن $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$، فإن $\frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.

الإجابة الصحيحة: سالبة

في الربع الرابع، $\cos\theta$ موجبة و $\sin\theta$ سالبة، لذا فإن الظل ($y/x$) يكون سالباً.

الإجابة الصحيحة: $\csc\theta$

علاقة المقلوب الأساسية هي $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$.

الإجابة الصحيحة: $2$

$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{1/2} = 2$.

الإجابة الصحيحة: الربع الثالث

الظل يكون موجباً في الربعين الأول والثالث، والجيب يكون سالباً في الثالث والرابع، لذا التقاطع هو الربع الثالث.

الإجابة الصحيحة: $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$

دالة ظل التمام هي مقلوب دالة الظل.

الإجابة الصحيحة: $0.64$

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$.

الإجابة الصحيحة: جميع الدوال الست

في الربع الأول، كل من $x$ و $y$ موجبان، مما يجعل جميع الدوال المثلثية موجبة.

الإجابة الصحيحة: موجبة

في الربع الثالث، كل من $\sin\theta$ و $\cos\theta$ سالبتان، لذا فإن $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ تكون موجبة.

الإجابة الصحيحة: سالبة

$580^\circ - 360^\circ = 220^\circ$ في الربع الثالث، حيث جيب التمام سالب.

الإجابة الصحيحة: $5$

$4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + 3 - (-1) = 1 + 3 + 1 = 5$.

الإجابة الصحيحة: $\tan 90^\circ$

عند $90^\circ$ تكون النقطة على دائرة الوحدة $(0, 1)$، و $\tan 90^\circ = \frac{1}{0}$ غير معرف.

بما أن $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$، إذن $\sin^2\theta = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$. إذن $\sin\theta = \pm\frac{12}{13}$. وبما أن الزاوية في الربع الثالث، فإن $\sin\theta$ سالبة، لذا $\sin\theta = -\frac{12}{13}$.

نعلم أن $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$. بالتعويض في الطرف الأيمن: $\frac{\sin\theta}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta$. وهو المطلوب إثباته.

$\sin\theta = \frac{4}{5}$، $\cos\theta = -\frac{3}{5}$، $\tan\theta = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$، $\csc\theta = \frac{5}{4}$، $\sec\theta = -\frac{5}{3}$، $\cot\theta = -\frac{3}{4}$.

بما أن الزاوية حادة (ربع أول)، نستخدم $\cos^2\theta = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$، إذن $\cos\theta = \frac{15}{17}$. ومنها $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{8/17}{15/17} = \frac{8}{15}$.

النقطة $(x, y)$ تقع على دائرة الوحدة التي معادلتها $x^2 + y^2 = 1$. هذا يعني أن $|y| \leq 1$ و $|x| \leq 1$. وبما أن $\sin\theta = y$، فلا يمكن لـ $\sin\theta$ أن تتجاوز القيمة 1 أو تقل عن -1.

بما أن $\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{12}{5}$ وفي الربع الثالث حيث $x,y$ سالبان، إذن $y = -12k, x = -5k$. من دائرة الوحدة $x^2+y^2=1$ نجد $25k^2+144k^2=1 \Rightarrow 169k^2=1 \Rightarrow k=1/13$. إذن $x = -5/13$ و $y = -12/13$. أي أن $\cos\theta = -5/13$ و $\sin\theta = -12/13$.