أسئلة: الزوايا المنتسبة

الإجابة الصحيحة: $30°$

الزاوية المرجعية هي الزاوية الحادة مع محور السينات، $180°-150°=30°$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{1}{2}$

$\cos(180°-60°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}$ لأن الزاوية في الربع الثاني.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan(180°+30°) = \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ لأن الظل موجب في الربع الثالث.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$، لذا $\sin(-45°) = -\sin(45°) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

الإجابة الصحيحة: $0.6$

في الربع الثاني، الجيب موجب، لذا $\sin(180°-\theta) = \sin(\theta) = 0.6$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

$\cos(360°-60°) = \cos(60°) = \frac{1}{2}$ لأن جيب التمام موجب في الربع الرابع.

الإجابة الصحيحة: $-1$

$\tan(180°-45°) = -\tan(45°) = -1$.

الإجابة الصحيحة: $\cos(-\theta)$

من قواعد الزاوية السالبة، $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(180°+60°) = -\sin(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $0.8$

دالة جيب التمام دالة زوجية، $\cos(-\theta) = \cos(\theta) = 0.8$.

الإجابة الصحيحة: $-1$

$\tan(360°-45°) = -\tan(45°) = -1$.

الإجابة الصحيحة: $-\sin(\theta)$

في الربع الثالث، الجيب سالب، لذا $\sin(180°+\theta) = -\sin(\theta)$.

الإجابة الصحيحة: $-\sin\theta$

مع $90^\circ$ تتحول الدالة إلى تمامها (جيب التمام إلى جيب)، والزاوية $90^\circ + \theta$ في الربع الثاني حيث جيب التمام سالب.

الإجابة الصحيحة: $20^\circ$

الزاويتان حادتان ومتتامتان: $\theta + 20^\circ + 2\theta + 10^\circ = 90^\circ$، إذن $3\theta = 60^\circ$ و $\theta = 20^\circ$.

الإجابة الصحيحة: $\cot\theta$

مع $270^\circ$ يتحول الظل إلى ظل التمام، والزاوية $270^\circ - \theta$ في الربع الثالث حيث الظل موجب.

نحسب كل قيمة: $\sin(120°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$، $\cos(120°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}$، $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$، $\sin(30°) = \frac{1}{2}$. بالتعويض: $(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

من قواعد الزوايا المنتسبة: $\tan(180°-\theta) = -\tan(\theta)$ و $\tan(180°+\theta) = \tan(\theta)$. بجمع الطرفين: $-\tan(\theta) + \tan(\theta) = 0$.

بما أن $\theta$ زاوية حادة، فإن $180°+\theta$ تقع في الربع الثالث حيث الجيب سالب. إذن $\sin(180°+\theta) = -\sin(\theta)$. بالتعويض: $-(\frac{3}{5}) = -0.6$.

$\cos(330°) = \cos(360°-30°) = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. و $\sin(210°) = \sin(180°+30°) = -\sin(30°) = -\frac{1}{2}$. المجموع هو $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

البسط: $\sin(180°-\theta) = \sin(\theta)$. المقام: $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$. المقدار يساوي $\frac{\sin(\theta)}{-\sin(\theta)} = -1$ (بشرط $\sin(\theta) \neq 0$).

بما أن $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ لأي زاوية $x$، فإن $\cos^2(150°) + \sin^2(150°) = 1$ مباشرةً. يمكن التأكد باستخدام الزوايا المنتسبة: $\cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$، $\sin(150°) = \frac{1}{2}$. إذن $(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.

إذا كان $\sin\alpha = \cos\beta$ فإن $\alpha \pm \beta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. إذن $3\theta + \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ومنها $\theta = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$، أو $3\theta - \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ومنها $\theta = \frac{\pi}{4} + \pi n$، حيث $n$ عدد صحيح.