ملخص الدوال المثلثية — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الرابعة: حساب المثلثات — البند 4-3

درست في المرحلة الإعدادية النسب المثلثية للزاوية الحادة في المثلث القائم: الجيب = المقابل ÷ الوتر، وجيب التمام = المجاور ÷ الوتر، والظل = المقابل ÷ المجاور. لكن الزاوية الموجهة قد تكون منفرجة أو أكبر من $360^\circ$ أو سالبة، فكيف نحسب نسبها؟ الحل هو دائرة الوحدة.

أهداف التعلم

أن تتعرف على دائرة الوحدة وتعرّف الدوال المثلثية الأساسية بدلالة إحداثيي نقطة عليها.
أن توجد مقلوبات الدوال المثلثية الأساسية.
أن تحدد إشارة كل دالة مثلثية حسب الربع الذي تقع فيه الزاوية.
أن توجد قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ والزوايا الربعية.

شرح الدرس

لماذا “دالة”؟

في مثلثات قائمة متشابهة، تبقى نسبة الجيب للزاوية الحادة نفسها ثابتة مهما تغيرت أطوال الأضلاع، ولا تتغير إلا إذا تغير قياس الزاوية. إذن الجيب يعتمد على الزاوية وحدها، أي أنه دالة في قياس الزاوية.

دائرة الوحدة

دائرة الوحدة هي دائرة مركزها نقطة الأصل وطول نصف قطرها وحدة واحدة، ومعادلتها $x^2 + y^2 = 1$ .

الدوال المثلثية الأساسية

إذا كانت $\theta$ زاوية موجهة في الوضع القياسي، وقطع ضلعها النهائي دائرة الوحدة في النقطة $B(x, y)$ ، فإن:

\cos\theta = x \qquad , \qquad \sin\theta = y \qquad , \qquad \tan\theta = \frac{y}{x}\;\; (x \neq 0)

أي أن النقطة هي $B(\cos\theta, \sin\theta)$ . ولأن النقطة على دائرة الوحدة فإن $-1 \le \sin\theta \le 1$ و $-1 \le \cos\theta \le 1$ ، و:

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

مقلوبات الدوال المثلثية

الدالة	مقلوبها	التعريف
الجيب $\sin\theta$	قاطع التمام $\csc\theta$	$\frac{1}{y}$ حيث $y \neq 0$
جيب التمام $\cos\theta$	القاطع $\sec\theta$	$\frac{1}{x}$ حيث $x \neq 0$
الظل $\tan\theta$	ظل التمام $\cot\theta$	$\frac{x}{y}$ حيث $y \neq 0$

فحاصل ضرب الدالة في مقلوبها يساوي 1، مثل $\sin\theta \times \csc\theta = 1$ .

إشارات الدوال المثلثية

إشارة الدالة تتبع إشارتي $x$ و $y$ في الربع الذي يقع فيه الضلع النهائي:

الربع	الدوال الموجبة
الأول $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$	جميع الدوال
الثاني $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$	الجيب ومقلوبه (قاطع التمام)
الثالث $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$	الظل ومقلوبه (ظل التمام)
الرابع $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$	جيب التمام ومقلوبه (القاطع)

وباقي الدوال في كل ربع سالبة.

قيم الدوال للزوايا الخاصة

الزاوية	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$
$\tan$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

قيم الدوال للزوايا الربعية

نقاط تقاطع دائرة الوحدة مع المحورين هي $(1, 0)$ و $(0, 1)$ و $(-1, 0)$ و $(0, -1)$ ، ومنها:

الزاوية	$0^\circ$ أو $360^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$
$\cos$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\sin$	$0$	$1$	$0$	$-1$
$\tan$	$0$	غير معرف	$0$	غير معرف

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: عيّن إشارة: $\sin 140^\circ$ ، $\tan 300^\circ$ ، $\cos 580^\circ$ ، $\sec(-45^\circ)$ .

$140^\circ$ في الربع الثاني: الجيب موجب.
$300^\circ$ في الربع الرابع: الظل سالب.
$580^\circ$ تكافئ $220^\circ$ في الربع الثالث: جيب التمام سالب.
$-45^\circ$ تكافئ $315^\circ$ في الربع الرابع: القاطع موجب.

مثال 2: الضلع النهائي لزاوية $\theta$ في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة $\left(-\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right)$ . أوجد جميع الدوال المثلثية للزاوية.

$\sin\theta = \frac{12}{13}$ ، $\cos\theta = -\frac{5}{13}$ ، $\tan\theta = -\frac{12}{5}$ ، $\csc\theta = \frac{13}{12}$ ، $\sec\theta = -\frac{13}{5}$ ، $\cot\theta = -\frac{5}{12}$ .

مثال 3: إذا كانت $180^\circ < \theta < 270^\circ$ و $\sin\theta = -\frac{3}{5}$ ، فأوجد $\cos\theta$ و $\tan\theta$ .

$\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ ، والزاوية في الربع الثالث حيث جيب التمام سالب، إذن $\cos\theta = -\frac{4}{5}$ ، و $\tan\theta = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$ .

مثال 4: أوجد دون الآلة الحاسبة قيمة: $4\sin 30^\circ \cos 60^\circ + \tan^2 60^\circ - \cos 180^\circ$ .

$4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + 3 - (-1) = 1 + 3 + 1 = 5$ .

ملاحظات مهمة

في الكتاب المدرسي تُكتب الدوال بالرموز: جا ( $\sin$ )، جتا ( $\cos$ )، ظا ( $\tan$ )، قتا ( $\csc$ )، قا ( $\sec$ )، ظتا ( $\cot$ ).
$\sin^2\theta$ تعني $(\sin\theta)^2$ ، وليست $\sin(\theta^2)$ .
عند إيجاد دالة من أخرى، حدد الإشارة من الربع أولًا ثم احسب المقدار.

المفاهيم الأساسية

على دائرة الوحدة: $\cos\theta = x$ و $\sin\theta = y$ و $\tan\theta = \frac{y}{x}$ .
المقلوبات: $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ ، $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ ، $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$ .
الإشارات: الأول كلها موجبة، الثاني الجيب، الثالث الظل، الرابع جيب التمام.
قيم الزوايا $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ والزوايا الربعية تُحفظ وتستخدم دون آلة حاسبة.

ملخص الدرس

تعمم دائرة الوحدة النسب المثلثية على أي زاوية موجهة: إحداثيا نقطة تقاطع الضلع النهائي مع الدائرة هما جيب التمام والجيب، ومنهما الظل والمقلوبات الثلاثة. وتتحدد إشارة كل دالة بالربع الذي يقع فيه الضلع النهائي، وللزوايا الخاصة والربعية قيم معروفة نستخدمها في الحساب والإثبات.

أسئلة للتدريب

عيّن إشارة: $\cos 100^\circ$ ، $\sin 250^\circ$ ، $\tan(-60^\circ)$ ، $\csc 400^\circ$ .
إذا كان الضلع النهائي لزاوية يقطع دائرة الوحدة في $\left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)$ فأوجد الدوال المثلثية الست لها.
إذا كانت $90^\circ < \theta < 180^\circ$ و $\cos\theta = -\frac{8}{17}$ فأوجد $\sin\theta$ و $\tan\theta$ .
أثبت دون الآلة الحاسبة أن: $\cos 60^\circ \cos 30^\circ + \sin 60^\circ \sin 30^\circ = \sin 60^\circ$ .
أوجد قيمة: $2\sin 90^\circ + 3\cos 0^\circ - \sin 270^\circ$ .