ملخص تطبيقات التشابه في الدائرة — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الثانية: التشابه — البند 2-4

الدائرة مليئة بالزوايا المتساوية: الزوايا المحيطية المرسومة على القوس نفسه متساوية، والزاوية المماسية تساوي الزاوية المحيطية المشتركة معها في القوس. هذه الزوايا المتساوية تصنع مثلثات متشابهة، ومن تشابهها نحصل على علاقات بسيطة وقوية بين أطوال الأوتار والقواطع والمماسات.

أهداف التعلم

أن تستنتج العلاقة بين أجزاء وترين متقاطعين في دائرة وتستخدمها.
أن تستخدم العلاقة بين قاطعين مرسومين من نقطة خارج الدائرة.
أن تستخدم العلاقة بين طول مماس وجزأي قاطع مرسومين من نقطة خارج الدائرة.
أن تستخدم عكس هذه العلاقات لإثبات أن أربع نقاط تقع على دائرة واحدة أو أن مستقيمًا يمس دائرة.

شرح الدرس

أولًا: وتران متقاطعان داخل الدائرة

إذا تقاطع الوتران $AB$ و $CD$ في نقطة $E$ داخل الدائرة فإن:

EA \times EB = EC \times ED

لماذا؟ ارسم $AC$ و $BD$ . في المثلثين $EAC$ و $EDB$ : الزاويتان عند $E$ متقابلتان بالرأس، و $\angle CAB = \angle CDB$ لأنهما محيطيتان مرسومتان على القوس $CB$ نفسه. إذن المثلثان متشابهان، ومنه $\frac{EA}{ED} = \frac{EC}{EB}$ ، أي $EA \times EB = EC \times ED$ .

ثانيًا: قاطعان من نقطة خارج الدائرة

إذا رُسم من نقطة $E$ خارج الدائرة قاطعان يقطعانها في $A, B$ وفي $C, D$ (حيث $A$ و $C$ هما الأقرب إلى $E$ ) فإن:

EA \times EB = EC \times ED

أي: (الجزء الخارجي × القاطع كاملًا) متساوٍ للقاطعين. والعلاقتان الأولى والثانية تسميان معًا تمرينًا مشهورًا: إذا تقاطع المستقيمان الحاويان للوترين $AB$ و $CD$ في $E$ فإن $EA \times EB = EC \times ED$ .

ثالثًا: مماس وقاطع من نقطة خارج الدائرة

إذا رُسم من نقطة $M$ خارج الدائرة مماس يمسها في $C$ ، وقاطع يقطعها في $A$ و $B$ فإن:

(MC)^2 = MA \times MB

أي أن طول المماس وسط متناسب بين طولي الجزء الخارجي والقاطع كاملًا. ويُبرهن بتشابه المثلثين $MCA$ و $MBC$ : الزاوية $M$ مشتركة، والزاوية المماسية $MCA$ تساوي الزاوية المحيطية $CBA$ .

عكس العلاقات

عكس التمرين المشهور: إذا تقاطع المستقيمان الحاويان للقطعتين $AB$ و $CD$ في $E$ وكان $EA \times EB = EC \times ED$ ، فإن النقاط $A, B, C, D$ تقع على دائرة واحدة (والشكل رباعي دائري).
عكس نتيجة المماس: إذا كانت $E$ نقطة على امتداد $BC$ وكان $(EA)^2 = EB \times EC$ ، فإن $EA$ يمس الدائرة المارة بالنقاط $A, B, C$ عند $A$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: وتران $AB$ و $CD$ يتقاطعان في $E$ . إذا كان $EA = 6$ سم، $EB = 4$ سم، $EC = 3$ سم، فأوجد $ED$ .

$6 \times 4 = 3 \times ED$ إذن $ED = 8$ سم.

مثال 2: من نقطة $E$ خارج دائرة رُسم قاطعان: الأول يقطعها في $A$ ثم $B$ حيث $EA = 5$ سم و $AB = 7$ سم، والثاني يقطعها في $C$ ثم $D$ حيث $EC = 6$ سم. أوجد $CD$ .

$EA \times EB = 5 \times 12 = 60$ ، إذن $6 \times ED = 60$ ومنها $ED = 10$ سم، و $CD = 10 - 6 = 4$ سم.

مثال 3: $MC$ مماس لدائرة، والقاطع $MAB$ يقطعها في $A$ و $B$ ، حيث $MA = 3$ سم و $AB = 9$ سم. أوجد طول المماس.

$(MC)^2 = 3 \times 12 = 36$ ، إذن $MC = 6$ سم.

مثال 4: في المثلث $ABC$ : $AB = 18$ سم، $AC = 12$ سم. النقطة $D \in AB$ حيث $AD = 4$ سم، والنقطة $H \in AC$ حيث $AH = 6$ سم. أثبت أن الشكل $DBCH$ رباعي دائري.

$AD \times AB = 4 \times 18 = 72$ ، و $AH \times AC = 6 \times 12 = 72$ . المستقيمان $BD$ و $CH$ يتقاطعان في $A$ و $AD \times AB = AH \times AC$ ، إذن النقاط $D, B, C, H$ تقع على دائرة واحدة (عكس التمرين المشهور).

مثال 5: مثلث $ABC$ فيه $AB = 6$ سم، و $D$ نقطة على $AC$ بحيث $AD = 4$ سم و $DC = 5$ سم. أثبت أن $AB$ يمس الدائرة المارة بالنقاط $B, D, C$ .

$AD \times AC = 4 \times 9 = 36 = (AB)^2$ ، إذن $AB$ مماس للدائرة المارة بالنقاط $B, D, C$ عند $B$ .

ملاحظات مهمة

في حالة القاطعين من نقطة خارجية، اضرب الجزء الخارجي في القاطع كاملًا وليس في الجزء الداخلي فقط: $EA \times EB$ وليس $EA \times AB$ .
طول المماس لا يُضرب في نفسه مع الجزء الداخلي؛ القاعدة $(MC)^2 = MA \times MB$ حيث $MB$ القاطع كاملًا.
المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة متساويان في الطول.
هذه العلاقات تُثبت دائمًا بتشابه مثلثين؛ فإن نسيت القانون ارسم المثلثين واكتب التناسب.

المفاهيم الأساسية

وتران متقاطعان: حاصل ضرب جزأي الأول = حاصل ضرب جزأي الثاني.
قاطعان من نقطة خارجية: الجزء الخارجي × القاطع كاملًا متساوٍ لهما.
مماس وقاطع: مربع طول المماس = الجزء الخارجي × القاطع كاملًا.
عكس هذه العلاقات يثبت أن نقاطًا تقع على دائرة واحدة أو أن مستقيمًا مماس.

ملخص الدرس

الزوايا المحيطية والمماسية المتساوية في الدائرة تنتج مثلثات متشابهة، ومن تشابهها نستنتج ثلاث علاقات بين الأطوال: للوترين المتقاطعين، وللقاطعين من نقطة خارجية، وللمماس والقاطع. ونستخدم هذه العلاقات لحساب أطوال مجهولة، ونستخدم عكسها لإثبات أن الشكل رباعي دائري أو أن المستقيم مماس.

أسئلة للتدريب

وتران متقاطعان في دائرة، طولا جزأي الأول 2 سم و 12 سم، وطول أحد جزأي الثاني 3 سم. أوجد طول الجزء الآخر.
من نقطة خارج دائرة رُسم مماس طوله 12 سم وقاطع جزؤه الخارجي 8 سم. أوجد طول الجزء الداخلي من القاطع.
من نقطة $E$ خارج دائرة رُسم قاطعان $EAB$ و $ECD$ ، حيث $EA = 4$ سم، $AB = 5$ سم، $EC = 3$ سم. أوجد $CD$ .
هل تقع النقاط $A, B, C, D$ على دائرة واحدة إذا تقاطع $AB$ و $CD$ في $E$ وكان $EA = 3$ سم، $EB = 8$ سم، $EC = 4$ سم، $ED = 6$ سم؟ فسّر.
اشرح لماذا يتشابه المثلثان الناتجان عن رسم وترين متقاطعين في دائرة.