ملخص العلاقة بين مساحتي سطحي مضلعين متشابهين — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الثانية: التشابه — البند 2-3

إذا ضاعفت طول ضلع مربع، هل تتضاعف مساحته؟ جرّب: مربع ضلعه 2 سم مساحته 4 سم²، ومربع ضلعه 4 سم مساحته 16 سم²، أي أن المساحة صارت أربعة أمثال وليس مثلين. في هذا الدرس نعمم هذه الملاحظة على كل المضلعات المتشابهة.

أهداف التعلم

أن تستخدم العلاقة بين مساحتي سطحي مثلثين متشابهين ومعامل التشابه.
أن تعمم العلاقة على أي مضلعين متشابهين.
أن تربط بين نسب الأطوال (الأضلاع والارتفاعات والمحيطات) ونسبة المساحات.
أن تستخدم مقياس الرسم لحساب أطوال ومساحات حقيقية.

شرح الدرس

مساحتا مثلثين متشابهين

نظرية: النسبة بين مساحتي سطحي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما. فإذا كان $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ فإن:

\frac{a(\triangle ABC)}{a(\triangle DEF)} = \left(\frac{AB}{DE}\right)^2 = k^2

حيث يرمز $a(\cdot)$ لمساحة السطح. فكرة البرهان: مساحة المثلث $= \frac{1}{2} \times$ القاعدة $\times$ الارتفاع. وفي المثلثين المتشابهين تتناسب القاعدتان بالنسبة $k$ ، ويتناسب الارتفاعان المتناظران بالنسبة $k$ أيضًا، فتصبح نسبة المساحتين $k \times k = k^2$ .

نتيجة: كل الأطوال المتناظرة تتناسب بالنسبة $k$

في المثلثين المتشابهين تكون النسبة بين أي طولين متناظرين (ضلعين، ارتفاعين، متوسطين، محيطين) تساوي $k$ ، أما النسبة بين المساحتين فتساوي $k^2$ .

مساحتا مضلعين متشابهين

نظرية: النسبة بين مساحتي سطحي مضلعين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما. وفكرتها أن المضلعين يمكن تقسيمهما من رأسين متناظرين إلى العدد نفسه من المثلثات، وكل مثلث يشابه نظيره بالمعامل نفسه.

الانتقال من المساحات إلى الأطوال

إذا عُلمت النسبة بين المساحتين فإن معامل التشابه هو جذرها التربيعي:

k = \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}

فإذا كانت النسبة بين المساحتين $9 : 16$ كانت النسبة بين الأضلاع (وبين المحيطين) $3 : 4$ .

مقياس الرسم

مقياس الرسم هو النسبة بين طول في الرسم (خريطة أو تصميم) والطول الحقيقي المناظر له، بعد توحيد الوحدات. والرسم والشكل الحقيقي مضلعان متشابهان، لذلك:

النسبة بين الأطوال = مقياس الرسم.
النسبة بين المساحات = مربع مقياس الرسم.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: في المثلث $ABC$ ، النقطة $D \in AB$ حيث $\frac{AD}{DB} = \frac{3}{2}$ ، ورُسم $DE \parallel BC$ ويقطع $AC$ في $E$ . إذا كانت مساحة المثلث $ABC$ تساوي 150 سم²، فأوجد مساحة المثلث $ADE$ ومساحة شبه المنحرف $DBCE$ .

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ ، و $\frac{AD}{AB} = \frac{3}{5}$ . إذن مساحة $\triangle ADE = 150 \times \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 150 \times \frac{9}{25} = 54$ سم². ومساحة شبه المنحرف $= 150 - 54 = 96$ سم².

مثال 2: النسبة بين مساحتي سطحي مثلثين متشابهين $16 : 25$ ، ومحيط المثلث الأكبر 75 سم. أوجد محيط الأصغر.

نسبة المحيطين $= \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ ، إذن محيط الأصغر $= 75 \times \frac{4}{5} = 60$ سم.

مثال 3: مضلعان متشابهان، طولا ضلعين متناظرين فيهما 6 سم و 9 سم، ومساحة الأكبر 108 سم². أوجد مساحة الأصغر.

$k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ ، والمساحة $= 108 \times \frac{4}{9} = 48$ سم².

مثال 4: خريطة مرسومة بمقياس رسم $1 : 50\,000$ . قطعة أرض مستطيلة على الخريطة بُعداها 4 سم و 3 سم. أوجد مساحتها الحقيقية بالكيلومتر المربع.

البعدان الحقيقيان: $4 \times 50\,000 = 200\,000$ سم $= 2$ كم، و $3 \times 50\,000 = 150\,000$ سم $= 1.5$ كم. إذن المساحة الحقيقية $= 2 \times 1.5 = 3$ كم².

ملاحظات مهمة

لا تستخدم $k$ مباشرة مع المساحات؛ استخدم $k^2$ . ولا تستخدم نسبة المساحات مباشرة مع الأطوال؛ خذ جذرها التربيعي.
وحّد الوحدات قبل حساب مقياس الرسم: $1$ م $= 100$ سم، و $1$ كم $= 100\,000$ سم، و $1$ م² $= 10\,000$ سم².
في الكتاب المدرسي يُرمز لمساحة سطح المثلث بالرمز م(△ أ ب جـ).

المفاهيم الأساسية

نسبة المساحتين = مربع معامل التشابه: $\frac{a_1}{a_2} = k^2$ .
نسبة الأضلاع والارتفاعات والمحيطات المتناظرة = $k$ .
معامل التشابه = الجذر التربيعي لنسبة المساحتين.
مقياس الرسم نسبة أطوال، ومربعه نسبة مساحات.

ملخص الدرس

عندما يتشابه مضلعان بمعامل $k$ فإن كل الأطوال المتناظرة تتضاعف بالمعامل $k$ ، أما المساحات فتتضاعف بالمعامل $k^2$ لأن المساحة حاصل ضرب بُعدين. ونستخدم هذه العلاقة في الاتجاهين، وفي تطبيقات مثل الخرائط والتصميمات عبر مقياس الرسم.

أسئلة للتدريب

مثلثان متشابهان، معامل تشابه الأول للثاني $\frac{2}{5}$ ، ومساحة الثاني 75 سم². أوجد مساحة الأول.
مضلعان متشابهان مساحتاهما 18 سم² و 32 سم². أوجد النسبة بين محيطيهما.
في المثلث $ABC$ ، $DE \parallel BC$ حيث $D \in AB$ و $E \in AC$ و $AD = 2$ سم و $DB = 4$ سم. أوجد النسبة بين مساحة المثلث $ADE$ ومساحة شبه المنحرف $DBCE$ .
تصميم منزل مرسوم بمقياس رسم $1 : 100$ ، ومساحة إحدى الحجرات فيه 12 سم². أوجد المساحة الحقيقية للحجرة بالمتر المربع.
إذا ضُربت أطوال أضلاع مضلع في 3، فكم مثلًا تصبح مساحته؟