ملخص تشابه المضلعات — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الثانية: التشابه — البند 2-1

الصورة الفوتوغرافية وتكبيرها، والخريطة والمكان الحقيقي، ونموذج المبنى والمبنى نفسه: كلها أشكال لها الشكل نفسه وإن اختلفت أحجامها. هذه الفكرة تسمى في الهندسة التشابه، وهي أساس الوحدة الثانية كلها.

أهداف التعلم

أن تذكر شرطي تشابه مضلعين وتطبقهما.
أن تكتب علاقة التشابه بترتيب الرؤوس المتناظرة وتكتب التناسب الصحيح.
أن توجد معامل التشابه وتحدد ما إذا كان المضلع تكبيرًا أو تصغيرًا للآخر.
أن تستخدم معامل التشابه والعلاقة بين المحيطين لإيجاد أطوال مجهولة.

شرح الدرس

تعريف المضلعين المتشابهين

يتشابه مضلعان لهما العدد نفسه من الأضلاع إذا تحقق الشرطان معًا:

الزوايا المتناظرة متطابقة (متساوية في القياس).
أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة.

ونستخدم الرمز $\sim$ للتعبير عن التشابه، مع مراعاة ترتيب الرؤوس المتناظرة. فإذا كان المضلع $ABCD \sim$ المضلع $XYZL$ فإن:

$\angle A = \angle X$ و $\angle B = \angle Y$ و $\angle C = \angle Z$ و $\angle D = \angle L$ .
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{CD}{ZL} = \frac{DA}{LX} = k$ .

معامل (نسبة) التشابه

العدد $k$ في التناسب السابق يسمى معامل تشابه المضلع الأول للمضلع الثاني، وهو طول ضلع في المضلع الأول مقسومًا على طول الضلع المناظر له في المضلع الثاني. أما معامل تشابه المضلع الثاني للأول فهو $\frac{1}{k}$ .

إذا كان $k > 1$ فالمضلع الأول تكبير للمضلع الثاني.
إذا كان $0 < k < 1$ فالمضلع الأول تصغير للمضلع الثاني.
إذا كان $k = 1$ فالمضلعان متطابقان.

العلاقة بين محيطي مضلعين متشابهين

إذا تشابه مضلعان فإن محيط المضلع الأول ÷ محيط المضلع الثاني = معامل التشابه $k$ .

وهذا ناتج عن خاصية التناسب: إذا تساوت عدة نسب فإن مجموع المقدمات إلى مجموع التوالي يساوي النسبة نفسها.

خواص مهمة

لا يكفي أحد الشرطين وحده: كل المستطيلات زواياها قوائم لكنها ليست كلها متشابهة، وكل المعينات أضلاعها متناسبة لكن زواياها قد تختلف.
المضلعان المتطابقان متشابهان ومعامل تشابههما 1، لكن ليس كل متشابهين متطابقين.
المضلعان المشابهان لمضلع ثالث متشابهان.
المضلعات المنتظمة التي لها العدد نفسه من الأضلاع متشابهة؛ فكل المربعات متشابهة، وكل المثلثات المتساوية الأضلاع متشابهة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: المضلع $ABCD \sim$ المضلع $EFGH$ ، حيث $AD = 12$ سم، $CD = 15$ سم، $AB = y + 2$ ، و $EH = 8$ سم، $GH = x$ ، $EF = 6$ سم. أوجد معامل التشابه وقيمتي $x$ و $y$ .

معامل التشابه: $k = \frac{AD}{EH} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ .
$\frac{CD}{GH} = \frac{3}{2}$ إذن $\frac{15}{x} = \frac{3}{2}$ ومنها $x = 10$ سم.
$\frac{AB}{EF} = \frac{3}{2}$ إذن $\frac{y + 2}{6} = \frac{3}{2}$ ومنها $y + 2 = 9$ ، أي $y = 7$ سم.

مثال 2: المثلث $ABC \sim$ المثلث $DEF$ ، حيث $DE = 8$ سم و $EF = 9$ سم و $FD = 10$ سم، ومحيط المثلث $ABC$ يساوي 81 سم. أوجد أطوال أضلاع المثلث $ABC$ .

محيط المثلث $DEF = 8 + 9 + 10 = 27$ سم، إذن $k = \frac{81}{27} = 3$ . ومنها: $AB = 3 \times 8 = 24$ سم، $BC = 3 \times 9 = 27$ سم، $CA = 3 \times 10 = 30$ سم.

مثال 3: إذا كان معامل تشابه المضلع $M_1$ للمضلع $M_2$ يساوي $\frac{2}{5}$ ، فأيهما التكبير؟ وما معامل تشابه $M_2$ للمضلع $M_1$ ؟

$k = \frac{2}{5} < 1$ ، فالمضلع $M_1$ تصغير للمضلع $M_2$ ، أي أن $M_2$ هو التكبير، ومعامل تشابه $M_2$ للمضلع $M_1$ يساوي $\frac{5}{2}$ .

ملاحظات مهمة

ترتيب كتابة الرؤوس مهم: الكتابة $ABCD \sim XYZL$ تعني أن $A$ يناظر $X$ و $B$ يناظر $Y$ وهكذا، فلا تكتب النسبة $\frac{AB}{YZ}$ .
حدد دائمًا “معامل تشابه أي مضلع لأي مضلع” قبل الحساب، فالعدد يُقلب إذا عكست الترتيب.
في الكتاب المدرسي تُكتب رؤوس المضلعات بالحروف العربية (أ، ب، جـ، ء) ويُرمز لمعامل التشابه بالحرف ك.

المفاهيم الأساسية

يتشابه مضلعان إذا تطابقت زواياهما المتناظرة وتناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة معًا.
معامل التشابه $k$ = طول ضلع في الأول ÷ طول الضلع المناظر في الثاني.
$k > 1$ تكبير، $0 < k < 1$ تصغير، $k = 1$ تطابق.
النسبة بين محيطي مضلعين متشابهين تساوي معامل التشابه.

ملخص الدرس

المضلعان المتشابهان لهما الشكل نفسه: زوايا متطابقة وأضلاع متناسبة بنسبة ثابتة تسمى معامل التشابه. هذا المعامل يخبرنا هل المضلع تكبير أو تصغير للآخر، ويساعدنا في حساب الأطوال المجهولة والمحيطات، بشرط كتابة الرؤوس المتناظرة بترتيب صحيح.

أسئلة للتدريب

هل كل مستطيلين متشابهان؟ وهل كل مربعين متشابهان؟ فسّر.
المضلع $ABCD \sim$ المضلع $XYZL$ ، ومعامل التشابه $\frac{4}{3}$ . إذا كان $XY = 9$ سم فأوجد $AB$ .
مضلعان متشابهان محيطاهما 36 سم و 60 سم، وطول أحد أضلاع الأصغر 9 سم. أوجد طول الضلع المناظر له في الأكبر.
إذا كان معامل تشابه المضلع الأول للثاني يساوي $0.6$ ، فهل الأول تكبير أم تصغير للثاني؟
أثبت أن أي مثلثين متساويي الأضلاع متشابهان.