أسئلة: تشابه المضلعات

الإجابة الصحيحة: تساوي الزوايا المتناظرة وتناسب الأضلاع المتناظرة

لكي يتشابه مضلعان، يجب أن يتحقق شرطان معًا: تساوي الزوايا المتناظرة وثبات نسبة الأضلاع المتناظرة.

الإجابة الصحيحة: لا، لأن تساوى الزوايا (90°) لا يضمن تناسب الأضلاع

تساوي الزوايا وحدها لا يكفي للتشابه إذا لم تتناسب الأضلاع المتناظرة، والمستطيلات قد تختلف في نسب أطوال أضلاعها رغم تساوي زواياها.

الإجابة الصحيحة: $6$ سم

معامل تشابه الأول للثاني = طول ضلع في الأول ÷ الضلع المناظر في الثاني، إذن $\frac{CD}{15} = \frac{2}{5}$ و $CD = 6$ سم. الخيار $37.5$ ناتج عن عكس النسبة.

الإجابة الصحيحة: $1$

المضلعان المتطابقان أضلاعهما المتناظرة متساوية في الطول، لذا تكون النسبة بين أضلاعهما المتناظرة مساوية لـ $1$.

الإجابة الصحيحة: $36$ سم

النسبة بين محيطي مضلعين متشابهين تساوي معامل التشابه، إذن محيط الثاني = $3 \times 12 = 36$ سم.

الإجابة الصحيحة: الزوايا المتناظرة متساوية في القياس

من شروط تشابه المضلعات تساوي الزوايا المتناظرة، بينما الأضلاع المتناظرة تكون متناسبة وليست بالضرورة متساوية.

الإجابة الصحيحة: $15$ سم

نسبة التشابه $k = \dfrac{9}{3} = 3$. إذن طول أطول ضلع في المضلع الثاني = $3 \times 5 = 15$ سم.

الإجابة الصحيحة: المضلع الأول تكبير للمضلع الثاني

إذا كان معامل تشابه المضلع الأول للثاني أكبر من 1 فالأول تكبير للثاني؛ و $\frac{4}{3} > 1$.

الإجابة الصحيحة: $\dfrac{4}{9}$

النسبة بين مساحتي مضلعين متشابهين تساوي مربع نسبة التشابه، أي $k^2 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$.

الإجابة الصحيحة: لا، فقد تختلف قياسات الزوايا المتناظرة

توافر شرط واحد فقط (تناسب الأضلاع فقط أو تساوي الزوايا فقط) لا يكفي للحكم بالتشابه في الحالة العامة للمضلعات.

الإجابة الصحيحة: $\dfrac{1}{3}$

نسبة التشابه = $\dfrac{\text{ضلع الأول}}{\text{ضلع الثاني}} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$.

الإجابة الصحيحة: أي مربعين

المربعات مضلعات منتظمة لها العدد نفسه من الأضلاع، فزواياها قوائم وأضلاعها متناسبة دائمًا. أما المستطيلات فقد تختلف نسبة أبعادها، والمعينات قد تختلف زواياها.

الإجابة الصحيحة: $24$ سم

محيط $DEF = 27$ سم، فمعامل التشابه $= \frac{81}{27} = 3$، و $AB = 3 \times DE = 24$ سم.

الإجابة الصحيحة: متطابقان

معامل التشابه 1 يعني أن الأضلاع المتناظرة متساوية في الطول والزوايا متساوية، فالمضلعان متطابقان.

الإجابة الصحيحة: $7$

$\frac{AB}{EF} = \frac{3}{2}$، إذن $\frac{y + 2}{6} = \frac{3}{2}$ ومنها $y + 2 = 9$ و $y = 7$.

يُقال إن مضلعين متشابهان إذا أمكن مطابقة رؤوس أحدهما برؤوس الآخر بحيث يتحقق شرطان معًا: 1) تساوي الزوايا المتناظرة. 2) تناسب الأضلاع المتناظرة بنسبة ثابتة.

لأن تساوي الزوايا وحدها يحقق الشرط الأول فقط ولا يضمن ثبات نسبة الأضلاع المتناظرة. ومثال ذلك: المستطيلات جميعها متساوية الزوايا (زواياها قوائم $90^\circ$)، ولكنهما قد لا يكونان متشابهين إذا اختلفت النسبة بين طولي وعرضي المستطيلين.

أطول ضلع في الأول هو $8$ سم، وأطول ضلع في الثاني هو $24$ سم، إذن نسبة التشابه $k = \dfrac{24}{8} = 3$. وعليه تكون أ باقي أضلاع المضلع الثاني هي: $3 \times 3 = 9$ سم، $6 \times 3 = 18$ سم، و $7 \times 3 = 21$ سم.

نسبة التشابه للمحيطين = $\dfrac{\text{محيط الثاني}}{\text{محيط الأول}} = \dfrac{50}{20} = \dfrac{5}{2} = 2.5$. وحيث أن نسبة الأضلاع المتناظرة تساوي نسبة المحيطين، إذن طول الضلع المناظر في الثاني = $4 \times 2.5 = 10$ سم.

معامل التشابه المركب من الأول إلى الثالث هو حاصل ضرب معاملي التشابه: $k_1 \times k_2 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.