أهداف التعلم

• أن توجد مجموع جذري معادلة تربيعية وحاصل ضربهما من معاملاتها.
• أن توجد معاملًا مجهولًا أو الجذر الآخر إذا عُلم أحد الجذرين أو علاقة بينهما.
• أن تكوّن المعادلة التربيعية إذا عُلم جذراها.
• أن تكوّن معادلة تربيعية جذراها مرتبطان بجذري معادلة أخرى معلومة.

شرح الدرس

مجموع الجذرين وحاصل ضربهما

إذا كان $L$ و $M$ جذري المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$ حيث $a \neq 0$، فإن:

لماذا؟ بجمع الجذرين من القانون العام يختفي الجذر التربيعي ويبقى $\frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a}$. وبضربهما نحصل على $\frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$.

حالات خاصة مفيدة

• إذا كان $a = 1$ فإن المجموع $= -b$ وحاصل الضرب $= c$.
• إذا كان $b = 0$ فإن الجذرين معكوسان جمعيًّا (مجموعهما صفر).
• إذا كان $a = c$ فإن الجذرين معكوسان ضربيًّا (حاصل ضربهما 1).
• إذا كانت المعاملات حقيقية وكان أحد الجذرين $p + qi$ فالجذر الآخر هو مرافقه $p - qi$.

تكوين المعادلة التربيعية متى عُلم جذراها

بقسمة طرفي المعادلة على $a$ نحصل على $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$، أي:

أي أن معامل $x$ هو سالب مجموع الجذرين، والحد المطلق هو حاصل ضربهما.

تكوين معادلة بمعلومية جذري معادلة أخرى

إذا طُلب تكوين معادلة جذراها مرتبطان بجذري معادلة معلومة (مثل $L^2$ و $M^2$، أو $\frac{1}{L}$ و $\frac{1}{M}$، أو $L + 2$ و $M + 2$):

1. نوجد $L + M$ و $LM$ من المعادلة المعلومة.
2. نحسب مجموع الجذرين الجديدين وحاصل ضربهما بدلالة $L + M$ و $LM$.
3. نعوض في الصيغة $x^2 - (L + M)x + LM = 0$ بعد وضع المجموع الجديد مكان $L + M$ وحاصل الضرب الجديد مكان $LM$.

ومن العلاقات المساعدة:

أسئلة للتدريب

1. دون حل المعادلة، أوجد مجموع جذري المعادلة $2x^2 + x - 6 = 0$ وحاصل ضربهما.
2. إذا كان مجموع جذري المعادلة $2x^2 + bx - 5 = 0$ يساوي $-\frac{3}{2}$، فأوجد قيمة $b$ ثم حل المعادلة.
3. إذا كان $2 + i$ أحد جذري المعادلة $x^2 - 4x + b = 0$ حيث $b$ حقيقي، فأوجد الجذر الآخر وقيمة $b$.
4. كوّن المعادلة التربيعية التي جذراها $\frac{3}{4}$ و $\frac{1}{2}$ بمعاملات صحيحة.
5. إذا كان $L$ و $M$ جذري المعادلة $x^2 + 3x - 5 = 0$، فكوّن المعادلة التي جذراها $L^2$ و $M^2$.